(1) $3.7 < \sqrt{a} < 4$ を満たす自然数 $a$ の値をすべて求めよ。 (2) $\sqrt{14-a}$ の値が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求めよ。

## 問題3

1. 問題の内容

(1) $3.7 < \sqrt{a} < 4$ を満たす自然数 $a$ の値をすべて求めよ。

(2) $\sqrt{14-a}$ の値が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

**(1)**

まず、$3.7 < \sqrt{a} < 4$ の各辺を2乗します。

$3.7^2 < a < 4^2$

$13.69 < a < 16$

$a$ は自然数なので、$14 \leq a \leq 15$ となります。

したがって、$a$ は 14, 15 です。

**(2)**

$\sqrt{14-a}$ が整数となるためには、$14-a$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$14-a = n^2$ となる整数 $n$ が存在します。

$a = 14 - n^2$

$a$ は自然数なので、$14 - n^2 > 0$ を満たす必要があります。つまり、$n^2 < 14$ であり、$n$ は $0, 1, 2, 3$ のいずれかです。

* $n = 0$ のとき、$a = 14 - 0^2 = 14$

* $n = 1$ のとき、$a = 14 - 1^2 = 13$

* $n = 2$ のとき、$a = 14 - 2^2 = 10$

* $n = 3$ のとき、$a = 14 - 3^2 = 5$

したがって、$a$ は 5, 10, 13, 14 です。

3. 最終的な答え

**(1)**

$a = 14, 15$

**(2)**

$a = 5, 10, 13, 14$

## 問題4

1. 問題の内容

$\sqrt{7}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a(a+4)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7}$ の整数部分を求めます。

$2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ より、$2 < \sqrt{7} < 3$ であるため、$\sqrt{7}$ の整数部分は2です。

$\sqrt{7}$ の小数部分 $a$ は、$a = \sqrt{7} - 2$ と表せます。

$a(a+4)$ に $a = \sqrt{7} - 2$ を代入します。

$a(a+4) = (\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} - 2 + 4)$

$= (\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$

これは和と差の積なので、以下の公式を利用します。

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$

$a(a+4) = (\sqrt{7})^2 - 2^2$

$= 7 - 4$

$= 3$

3. 最終的な答え

$a(a+4) = 3$