与えられた二重積分を計算する問題です。積分は極座標で行われ、被積分関数は $r - r\cos(2\theta)$ です。積分範囲は $r$ については $\sqrt{\pi}$ から $\sqrt{2\pi}$ まで、$\theta$ については $-\pi/2$ から $\pi/2$ までです。

1. 問題の内容

与えられた二重積分を計算する問題です。積分は極座標で行われ、被積分関数は $r - r\cos(2\theta)$ です。積分範囲は $r$ については $\sqrt{\pi}$ から $\sqrt{2\pi}$ まで、$\theta$ については $-\pi/2$ から $\pi/2$ までです。

2. 解き方の手順

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$$\int r - r\cos(2\theta) \,dr = \frac{r^2}{2} - \frac{1}{2}r^2 \cos(2\theta)$$

これを $r$ について $\sqrt{\pi}$ から $\sqrt{2\pi}$ まで評価します。

$$\left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^2}{2}\cos(2\theta) \right]_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\pi}{2} - \frac{2\pi}{2}\cos(2\theta) - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\cos(2\theta)\right) = \pi - \pi\cos(2\theta) - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\cos(2\theta) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\cos(2\theta)$$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\cos(2\theta)\right) \,d\theta = \frac{\pi}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-\cos(2\theta))\, d\theta = \frac{\pi}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$$

これを $\theta$ について $-\pi/2$ から $\pi/2$ まで評価します。

$$\frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin(\pi) - \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin(-\pi)\right) \right] = \frac{\pi}{2}\left[ \frac{\pi}{2} - 0 - \left(-\frac{\pi}{2} - 0\right)\right] = \frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} (\pi) = \frac{\pi^2}{2}$$

最後に、最初の $\frac{1}{2}$ を掛けます。

$$\frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} (r - r\cos(2\theta)) \,dr d\theta = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi^2}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{4}$