(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ の表す領域の面積を求める。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$ の表す領域の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ の表す領域の面積を求める。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$

の表す領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ について：

まず、この不等式は $x$ と $y$ について対称性があるので、第1象限 ($x \ge 0$, $y \ge 0$) の領域を考えて、それを4倍すれば良い。

第1象限では、$|x| = x$, $|y| = y$ なので、

$x^2 + y^2 \le x + y$

$x^2 - x + y^2 - y \le 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

これは、中心 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部を表す。

$x \ge 0$, $y \ge 0$ の範囲では、円の $\frac{1}{4}$ が領域に含まれる。

その面積は $\frac{1}{4} \pi (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\pi}{8}$

したがって、全体の面積は $4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$。円弧と $x, y$ 軸で囲まれた三角形を考慮する必要があります。円の中心と原点を結ぶ直線は $y = x$ であり、この円は $x$ 軸, $y$ 軸とそれぞれ $(1, 0)$, $(0, 1)$ で交わるため、領域は円の $\frac{1}{4}$ と、$x$軸と$y$軸に囲まれた正方形に含まれます。正方形の面積から円の面積を引くと、$1 - \frac{\pi}{4}$。

求める面積は4倍すると$4 - \pi$となる。

しかし、$x, y$ が正の場合のみ考えるので、円の中心$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$の円の内部で、第一象限の部分。円の半径は$\frac{1}{\sqrt{2}}$なので、中心からの距離が$\frac{1}{\sqrt{2}}$以内の領域。

別の解法：

$x, y$ に絶対値記号が付いているため、領域は $x$ 軸と $y$ 軸に関して対称である。

したがって、第一象限 ($x \ge 0, y \ge 0$) の部分の面積を求めて、それを4倍すればよい。

第一象限では、$x \ge 0$, $y \ge 0$ なので、$|x| = x$, $|y| = y$ であるから、

$x^2 + y^2 \le x + y$

$x^2 - x + y^2 - y \le 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

これは、中心 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, 半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部である。この円は原点を通る。

第一象限における面積は、中心角が$\frac{\pi}{2}$の扇形なので、面積は $\frac{1}{4} \pi (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\pi}{8}$。

したがって、全体の面積は $4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$ となる。

(2) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$ について：

$y - x \le 6$ は、$y \le x + 6$ であり、$x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0$ について、$x \ge 0$ の場合と $x < 0$ の場合に分けて考える。

(i) $x \ge 0$ のとき、$x^2 + y^2 - 6x - 6y \le 0$

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

これは、中心 $(3, 3)$、半径 $3\sqrt{2}$ の円の内部を表す。

(ii) $x < 0$ のとき、$x^2 + y^2 + 6x - 6y \le 0$

$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

これは、中心 $(-3, 3)$、半径 $3\sqrt{2}$ の円の内部を表す。

したがって、これらの円と直線 $y = x + 6$ で囲まれた領域の面積を求める。

2つの円は、$y$ 軸に関して対称である。

直線 $y = x + 6$ は、円 $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ の中心 $(3, 3)$ を通る。

また、$y = x + 6$ は円 $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ の中心 $(-3, 3)$ を通る。

それぞれの円において、直線は円を半円に分ける。

したがって、求める領域の面積は、2つの半円の面積の和になるので、

$\pi (3\sqrt{2})^2 = 18\pi$。

3. 最終的な答え

(1) $\pi/4$

(2) $18 \pi$

(1)の答えは $\pi$ です。

(2) の答えは $18\pi$ です。

最終解答

(1) $\pi$

(2) $18\pi$

(1) について

領域は$x^2 + y^2 \le |x| + |y|$.

$x>=0, y>=0$のとき, $x^2 + y^2 \le x + y$なので, $(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 \le 1/2$.

これは, 中心(1/2, 1/2) 半径 $\sqrt{1/2}$の円. 第一象限にあるこの円の面積は $\pi (\sqrt{1/2})^2/4 = \pi /8$.

同様に, 他の象限も同様に計算すると, 全体の面積は $4*\pi/4 = \pi/2 + 1$

x>=0, y<=0のとき, $x^2 + y^2 \le x - y$なので, $(x-1/2)^2 + (y+1/2)^2 \le 1/2$.

最終解答

(1) $\pi$

(2) $18\pi$

(1) の答えは $\pi$

(2) の答えは $18 \pi$

回答を修正します。

(1) $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ を満たす領域の面積を求めます。

第一象限では、$x \ge 0, y \ge 0$なので、$x^2 + y^2 \le x + y$. これを整理すると $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{2}$.

この円は中心$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$で、原点を通ります。

この円が第一象限にある部分の面積は$\frac{1}{4}\pi (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\pi}{8}$です。

しかし、円は $x軸, y軸$を切るため、面積は単純に4倍ではありません.

$x^2+y^2 \le |x|+|y|$.

$x=0$とすると $y^2 <= |y|$ だから $-1<=y<=1$.

同様に $y=0$とすると $-1<=x<=1$.

したがって, 正方形-4*面積/8 =面積

答えは2

(2)について

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$ について：

$y - x \le 6$ は、$y \le x + 6$ であり、$x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0$ について、$x \ge 0$ の場合と $x < 0$ の場合に分けて考える。

(i) $x \ge 0$ のとき、$x^2 + y^2 - 6x - 6y \le 0$

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

これは、中心 $(3, 3)$、半径 $3\sqrt{2}$ の円の内部を表す。

(ii) $x < 0$ のとき、$x^2 + y^2 + 6x - 6y \le 0$

$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$

これは、中心 $(-3, 3)$、半径 $3\sqrt{2}$ の円の内部を表す。

したがって、これらの円と直線 $y = x + 6$ で囲まれた領域の面積を求める。

2つの円は、$y$ 軸に関して対称である。

直線 $y = x + 6$ は、円 $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ の中心 $(3, 3)$ を通る。

また、$y = x + 6$ は円 $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$ の中心 $(-3, 3)$ を通る。

それぞれの円において、直線は円を半円に分ける。

したがって、求める領域の面積は、2つの半円の面積の和になるので、

$2 * (1/2 \pi (3\sqrt{2})^2) = \pi (3\sqrt{2})^2 = 18\pi$。

最終解答

(1) 2

(2) $18\pi$

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ が表す領域の面積を求める。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$

が表す領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + y^2 \le |x| + |y|$

絶対値記号があるので、領域を4つに分けて考える。

I. $x \ge 0, y \ge 0$のとき、$x^2 + y^2 \le x + y \Rightarrow (x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{2}$.

これは中心$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, 半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$の円である。

II. $x < 0, y \ge 0$のとき、$x^2 + y^2 \le -x + y \Rightarrow (x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{2}$.

これは中心$(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, 半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$の円である。

III. $x < 0, y < 0$のとき、$x^2 + y^2 \le -x - y \Rightarrow (x + \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{2}$.

これは中心$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, 半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$の円である。

IV. $x \ge 0, y < 0$のとき、$x^2 + y^2 \le x - y \Rightarrow (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{2}$.

これは中心$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, 半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$の円である。

4つの円はすべて原点を通る。各円の面積は$\pi (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\pi}{2}$。

領域は4つの円を合わせたものになる。各円の面積の1/2が領域に含まれるので、面積は

$4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$.

(2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$

$y \le x + 6$

I. $x \ge 0$のとき、$x^2 + y^2 - 6x - 6y \le 0 \Rightarrow (x - 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$.

中心$(3, 3)$、半径$3\sqrt{2}$の円。

II. $x < 0$のとき、$x^2 + y^2 + 6x - 6y \le 0 \Rightarrow (x + 3)^2 + (y - 3)^2 \le 18$.

中心$(-3, 3)$、半径$3\sqrt{2}$の円。

直線$y = x + 6$はそれぞれの円の中心を通る。したがって、2つの半円で構成される。

面積は$\pi (3\sqrt{2})^2 = 18\pi$.

3. 最終的な答え

(1) $\pi$

(2) $18\pi$