曲線 $y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$ の概形を描き、漸近線の方程式を求めよ。

解析学関数のグラフ漸近線微分増減表
2025/7/22

1. 問題の内容

曲線 y=x2x1x2y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} の概形を描き、漸近線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 漸近線を求める。
まず、分母が0になる xx の値を求める。
x2=0x - 2 = 0 より、x=2x = 2。したがって、x=2x = 2 は垂直漸近線である。
次に、分子を分母で割る(多項式の割り算を行う)。
x2x1x^2 - x - 1x2x - 2 で割ると、商は x+1x + 1、余りは 11 となる。
したがって、
y=x2x1x2=x+1+1x2y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \frac{1}{x - 2}
xx \to \infty または xx \to -\infty のとき、1x20\frac{1}{x-2} \to 0 であるから、y=x+1y = x + 1 は斜めの漸近線である。
まとめると、漸近線は x=2x = 2y=x+1y = x + 1 である。
(2) 増減表を作成する。
y=x+1+1x2y = x + 1 + \frac{1}{x - 2} を微分する。
y=11(x2)2=(x2)21(x2)2=x24x+41(x2)2=x24x+3(x2)2=(x1)(x3)(x2)2y' = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 2)^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 4 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2}
y=0y' = 0 となるのは、x=1,3x = 1, 3 である。
yy' の符号を調べる。
- x<1x < 1 のとき、y>0y' > 0
- 1<x<21 < x < 2 のとき、y<0y' < 0
- 2<x<32 < x < 3 のとき、y<0y' < 0
- x>3x > 3 のとき、y>0y' > 0
増減表は以下のようになる。
| x | ... | 1 | ... | 2 | ... | 3 | ... |
|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |
| y | ↑ | -1 | ↓ | | ↓ | 5 | ↑ |
x=1x = 1 のとき、y=11112=11=1y = \frac{1 - 1 - 1}{1 - 2} = \frac{-1}{-1} = 1
x=3x = 3 のとき、y=93132=51=5y = \frac{9 - 3 - 1}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5
したがって、x=1x=1で極大値11, x=3x=3で極小値55をとる。
(3) グラフの概形を描く。
漸近線 x=2x=2y=x+1y=x+1 を描き、増減表に基づいてグラフの概形を描く。

3. 最終的な答え

漸近線の方程式:
x=2x = 2, y=x+1y = x + 1

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