(1) 漸近線を求める。
x−2=0 より、x=2。したがって、x=2 は垂直漸近線である。 次に、分子を分母で割る(多項式の割り算を行う)。
x2−x−1 を x−2 で割ると、商は x+1、余りは 1 となる。 したがって、
y=x−2x2−x−1=x+1+x−21 x→∞ または x→−∞ のとき、x−21→0 であるから、y=x+1 は斜めの漸近線である。 まとめると、漸近線は x=2 と y=x+1 である。 (2) 増減表を作成する。
y=x+1+x−21 を微分する。 y′=1−(x−2)21=(x−2)2(x−2)2−1=(x−2)2x2−4x+4−1=(x−2)2x2−4x+3=(x−2)2(x−1)(x−3) y′=0 となるのは、x=1,3 である。 - x<1 のとき、y′>0 - 1<x<2 のとき、y′<0 - 2<x<3 のとき、y′<0 - x>3 のとき、y′>0 増減表は以下のようになる。
| x | ... | 1 | ... | 2 | ... | 3 | ... |
|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |
| y | ↑ | -1 | ↓ | | ↓ | 5 | ↑ |
x=1 のとき、y=1−21−1−1=−1−1=1 x=3 のとき、y=3−29−3−1=15=5 したがって、x=1で極大値1, x=3で極小値5をとる。 (3) グラフの概形を描く。
漸近線 x=2 と y=x+1 を描き、増減表に基づいてグラフの概形を描く。