曲線C: $\begin{cases} x = 2\cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ ($0 \le t \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

曲線C: $\begin{cases} x = 2\cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ ($0 \le t \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

面積$S$は、積分を使って求めます。まず、$x$と$t$の関係から$\frac{dx}{dt}$を求めます。

$$\frac{dx}{dt} = -2\sin t$$

面積$S$は、以下の定積分で表されます。

$$S = \int_{x(t=\pi)}^{x(t=0)} y\,dx = - \int_{\pi}^{0} \sin t \cdot 2\sin t\, dt = 2\int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt$$

ここで、$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$を利用します。

$$S = 2\int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) \, dt$$

積分を計算します。

$$S = \left[ t - \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{0}^{\pi} = \left( \pi - \frac{1}{2}\sin 2\pi \right) - \left( 0 - \frac{1}{2}\sin 0 \right) = \pi - 0 - 0 + 0 = \pi$$

3. 最終的な答え

$\pi$