サイクロイドC: $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ ($0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

サイクロイドC: $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ ($0 \le t \le 2\pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積 $V$ は、積分を用いて次のように表されます。

$V = \pi \int_a^b y^2 dx$

ここで、$x$ と $y$ はパラメータ $t$ で表されているので、

$dx = \frac{dx}{dt} dt$

と変換します。

$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$

また、$t$ の範囲は $0 \le t \le 2\pi$ であり、$x$ の範囲も $t$ の範囲に対応します。

$x(0) = 0 - \sin 0 = 0$

$x(2\pi) = 2\pi - \sin 2\pi = 2\pi$

よって、体積 $V$ は次の積分で表されます。

$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 (1 - \cos t) dt$

$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^3 dt$

$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t) dt$

ここで、

$\int_0^{2\pi} \cos t dt = 0$

$\int_0^{2\pi} \cos^3 t dt = \int_0^{2\pi} \cos t (1 - \sin^2 t) dt = \int_0^{2\pi} \cos t dt - \int_0^{2\pi} \cos t \sin^2 t dt = 0 - [\frac{\sin^3 t}{3}]_0^{2\pi} = 0$

$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$

$\int_0^{2\pi} \cos^2 t dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = [\frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4}]_0^{2\pi} = \pi$

したがって、

$V = \pi \int_0^{2\pi} (1 - 3\cos t + 3\cos^2 t - \cos^3 t) dt = \pi (2\pi - 0 + 3\pi - 0) = 5\pi^2$

3. 最終的な答え

$5\pi^2$