次の3つの関数をそれぞれ微分する。 (1) $y = 3^x$ (2) $y = 10^{3x+1}$ (3) $y = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$

1. 問題の内容

次の3つの関数をそれぞれ微分する。

(1) $y = 3^x$

(2) $y = 10^{3x+1}$

(3) $y = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3^x$

$y' = (3^x)'$

公式 $(a^x)' = a^x \log a$ を用いると、

$y' = 3^x \log 3$

(2) $y = 10^{3x+1}$

$y' = (10^{3x+1})'$

合成関数の微分を用いる。まず$u = 3x+1$とおくと、

$y = 10^u$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = (10^u)' = 10^u \log 10 = 10^{3x+1} \log 10$

$\frac{du}{dx} = (3x+1)' = 3$

よって、

$y' = 3 \cdot 10^{3x+1} \log 10$

(3) $y = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$

$y' = (\frac{2^x + 2^{-x}}{2})'$

$y' = \frac{1}{2} (2^x + 2^{-x})'$

$y' = \frac{1}{2} ((2^x)' + (2^{-x})')$

$y' = \frac{1}{2} (2^x \log 2 + (2^{-x})')$

$u = -x$ とおくと、

$(2^{-x})' = (2^u)' = (2^u \log 2) \cdot u' = 2^{-x} \log 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \log 2$

よって、

$y' = \frac{1}{2} (2^x \log 2 - 2^{-x} \log 2)$

$y' = \frac{\log 2}{2} (2^x - 2^{-x})$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3^x \log 3$

(2) $y' = 3 \cdot 10^{3x+1} \log 10$

(3) $y' = \frac{\log 2}{2} (2^x - 2^{-x})$