与えられた問題は、次の定積分の値を計算することです。 $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分の値を計算することです。

$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin x \, dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くには、部分積分を2回適用します。

まず、$I = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin x \, dx$ とします。

ステップ1：1回目の部分積分

$u = \sin x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、

$du = \cos x \, dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$I = \left[-\frac{1}{2}e^{-2x} \sin x \right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos x \, dx$

$x \to \infty$ のとき、$e^{-2x} \sin x \to 0$ であり、$x=0$ のとき、$e^{-2(0)} \sin(0) = 1 \cdot 0 = 0$ なので、第一項は0になります。

したがって、

$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos x \, dx$

ステップ2：2回目の部分積分

$u = \cos x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、

$du = -\sin x \, dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

再び部分積分の公式を用いると、

$I = \frac{1}{2} \left(\left[-\frac{1}{2}e^{-2x} \cos x \right]_{0}^{\infty} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin x \, dx\right)$

$x \to \infty$ のとき、$e^{-2x} \cos x \to 0$ であり、$x=0$ のとき、$e^{-2(0)} \cos(0) = 1 \cdot 1 = 1$ なので、

$I = \frac{1}{2} \left(\left[0 - (-\frac{1}{2})\right] - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin x \, dx \right)$

$I = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}I \right)$

$I = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}I$

ステップ3：$I$ について解く

$I = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}I$ を整理すると、

$I + \frac{1}{4}I = \frac{1}{4}$

$\frac{5}{4}I = \frac{1}{4}$

$I = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin x \, dx = \frac{1}{5}$