次の広義積分の収束・発散を調べる問題です。 (1) $\int_1^\infty \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ (2) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx$

1. 問題の内容

次の広義積分の収束・発散を調べる問題です。

(1) $\int_1^\infty \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$

(2) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^\infty \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ の収束・発散を調べます。

被積分関数は $\frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}}$ です。

$-1 \leq \cos x \leq 1$ より、$1 \leq 2\cos x + 3 \leq 5$ が成り立ちます。

したがって、$\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \leq \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} \leq \frac{5}{\sqrt[3]{x^2}}$ となります。

ここで、$x > 0$ において$\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$なので、$\int_1^\infty \frac{1}{x^{2/3}} dx$ の収束・発散を調べます。

$\int_1^\infty \frac{1}{x^{2/3}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t x^{-2/3} dx = \lim_{t \to \infty} [3x^{1/3}]_1^t = \lim_{t \to \infty} (3t^{1/3} - 3) = \infty$ となり、発散します。

したがって、$\int_1^\infty \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ も発散します。

(2) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx$ の収束・発散を調べます。

被積分関数は $\frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3}$ です。

$x$ が $0$ に近いとき、$\sqrt[5]{x^7}$ が $x^3$ よりも大きいので、$\sqrt[5]{x^7} + x^3 \approx \sqrt[5]{x^7} = x^{7/5}$ と近似できます。

したがって、$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx \approx \int_0^1 \frac{1}{x^{7/5}} dx$ となります。

$\int_0^1 \frac{1}{x^{7/5}} dx = \lim_{t \to +0} \int_t^1 x^{-7/5} dx = \lim_{t \to +0} [-\frac{5}{2} x^{-2/5}]_t^1 = \lim_{t \to +0} (-\frac{5}{2} + \frac{5}{2} t^{-2/5}) = \infty$ となり、発散します。

したがって、$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx$ も発散します。

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 発散