摩擦係数 $w(x, y) = 1 + \alpha y$ が与えられている。ここで、$\alpha$ は定数である。曲線 $C$ に沿って物体を移動したときの発熱量、すなわち線積分 $\int_C w(x, y) ds$ を、以下の2つの曲線 $C$ についてそれぞれ求める。 (1) 曲線 $C$: 原点 $O(0, 0)$ から点 $P_1(0, 1)$ に至る経路。 (2) 曲線 $C$: 原点 $O$ から点 $P_2(2, 2)$ を通り点 $P_1(0, 1)$ に至る経路。

1. 問題の内容

摩擦係数 $w(x, y) = 1 + \alpha y$ が与えられている。ここで、$\alpha$ は定数である。曲線 $C$ に沿って物体を移動したときの発熱量、すなわち線積分 $\int_C w(x, y) ds$ を、以下の2つの曲線 $C$ についてそれぞれ求める。

(1) 曲線 $C$: 原点 $O(0, 0)$ から点 $P_1(0, 1)$ に至る経路。

(2) 曲線 $C$: 原点 $O$ から点 $P_2(2, 2)$ を通り点 $P_1(0, 1)$ に至る経路。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ が原点 $O(0, 0)$ から点 $P_1(0, 1)$ に至る経路の場合：

この経路は $x=0$ 上の線分である。したがって、$x = 0$ であり、$0 \leq y \leq 1$ である。

この経路のパラメータ表示は $x(t) = 0, y(t) = t$, $0 \leq t \leq 1$ となる。

$dx/dt = 0$, $dy/dt = 1$ であるから、$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt = \sqrt{0^2 + 1^2} dt = dt$ となる。

よって、線積分は

$\int_C w(x, y) ds = \int_0^1 (1 + \alpha t) dt = [t + \frac{1}{2} \alpha t^2]_0^1 = 1 + \frac{1}{2} \alpha$

(2) 曲線 $C$ が原点 $O$ から点 $P_2(2, 2)$ を通り点 $P_1(0, 1)$ に至る経路の場合：

経路を2つの部分に分ける。

$C_1$: 原点 $O(0, 0)$ から点 $P_2(2, 2)$ までの経路。

$C_2$: 点 $P_2(2, 2)$ から点 $P_1(0, 1)$ までの経路。

まず、$C_1$ を考える。

直線 $y = x$ 上の線分なので、$x = t, y = t$, $0 \leq t \leq 2$ とパラメータ表示できる。

$dx/dt = 1$, $dy/dt = 1$ であるから、$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt = \sqrt{1^2 + 1^2} dt = \sqrt{2} dt$ となる。

よって、積分は $\int_{C_1} w(x, y) ds = \int_0^2 (1 + \alpha t) \sqrt{2} dt = \sqrt{2} [t + \frac{1}{2} \alpha t^2]_0^2 = \sqrt{2} (2 + 2 \alpha) = 2\sqrt{2} (1 + \alpha)$

次に、$C_2$ を考える。

点 $(2, 2)$ と点 $(0, 1)$ を通る直線は $y - 2 = \frac{1-2}{0-2} (x - 2)$, つまり $y = \frac{1}{2}x + 1$ である。

$x = t$ とすると、$y = \frac{1}{2}t + 1$ であり、$0 \leq t \leq 2$ とパラメータ表示できる。

$dx/dt = 1$, $dy/dt = \frac{1}{2}$ であるから、$ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{2})^2} dt = \frac{\sqrt{5}}{2} dt$ となる。

よって、積分は $\int_{C_2} w(x, y) ds = \int_2^0 (1 + \alpha (\frac{1}{2}t + 1)) \frac{\sqrt{5}}{2} dt = \frac{\sqrt{5}}{2} \int_2^0 (1 + \alpha + \frac{1}{2} \alpha t) dt = \frac{\sqrt{5}}{2} [(1 + \alpha)t + \frac{1}{4} \alpha t^2]_2^0 = \frac{\sqrt{5}}{2} [0 - (2(1 + \alpha) + \alpha)] = \frac{\sqrt{5}}{2} (-2 - 3\alpha) = - \sqrt{5} (1 + \frac{3}{2}\alpha)$.

したがって、

$\int_C w(x, y) ds = \int_{C_1} w(x, y) ds + \int_{C_2} w(x, y) ds = 2\sqrt{2} (1 + \alpha) - \sqrt{5} (1 + \frac{3}{2}\alpha) = 2\sqrt{2} - \sqrt{5} + (2\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{5}) \alpha$

3. 最終的な答え

(1) $1 + \frac{1}{2} \alpha$

(2) $2\sqrt{2} - \sqrt{5} + (2\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{5}) \alpha$