与えられた積分 $\int \sin 4x \cos x \, dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sin 4x \cos x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を用いて、被積分関数を変形します。この公式を使うと、

$\sin 4x \cos x = \frac{1}{2}[\sin(4x+x) + \sin(4x-x)] = \frac{1}{2}(\sin 5x + \sin 3x)$

となります。したがって、

$\int \sin 4x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2}(\sin 5x + \sin 3x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin 3x) \, dx$

$\int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C$ であることを利用すると、

$\frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin 3x) \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} \cos 5x - \frac{1}{3} \cos 3x \right) + C$

$= -\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{6} \cos 3x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{6} \cos 3x + C$