与えられた積分 $\int_6^\infty (x-\frac{1}{3})^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_6^\infty (x-\frac{1}{3})^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x - \frac{1}{3})^2 = x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$

次に、この関数を積分します。

$\int (x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x + C$

ここで、定積分 $\int_6^\infty (x-\frac{1}{3})^2 dx$ を計算します。

$$\int_6^\infty (x-\frac{1}{3})^2 dx = \lim_{b \to \infty} \int_6^b (x-\frac{1}{3})^2 dx$$

$$= \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x \right]_6^b$$

$$= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b \right) - \left( \frac{1}{3}(6)^3 - \frac{1}{3}(6)^2 + \frac{1}{9}(6) \right)$$

$$= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b \right) - \left( \frac{216}{3} - \frac{36}{3} + \frac{6}{9} \right)$$

$$= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b \right) - \left( 72 - 12 + \frac{2}{3} \right)$$

$$= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b \right) - \left( 60 + \frac{2}{3} \right)$$

$$= \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b \right) - \frac{182}{3}$$

$b \to \infty$ のとき、$\frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b$ は $\infty$ に発散します。したがって、積分は発散します。

3. 最終的な答え

発散