放物線 $y = -x^2 + 4x$ (1) の接線のうち、点 $(0, 9)$ を通るものの方程式を求め、さらに (1) と求めた2つの接線で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 4x$ (1) の接線のうち、点 $(0, 9)$ を通るものの方程式を求め、さらに (1) と求めた2つの接線で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(t, -t^2 + 4t)$ における接線を求めます。

$y' = -2x + 4$ より、接線の傾きは $-2t + 4$ なので、接線の方程式は

$y - (-t^2 + 4t) = (-2t + 4)(x - t)$

$y = (-2t + 4)x - t^2 + 4t + t^2$

$y = (-2t + 4)x + t^2$

この接線が点 $(0, 9)$ を通るので、

$9 = (-2t + 4) \cdot 0 + t^2$

$t^2 = 9$

$t = \pm 3$

よって、2つの接線は

$t = 3$ のとき、$y = (-2 \cdot 3 + 4)x + 9 = -2x + 9$ (2)

$t = -3$ のとき、$y = (-2 \cdot (-3) + 4)x + 9 = 10x + 9$ (3)

したがって、接線 (2) と (3) は $y = -2x + 9$ と $y = 10x + 9$ となります。

次に、放物線 (1) と接線 (2) で囲まれた部分の面積 $S_1$ と、放物線 (1) と接線 (3) で囲まれた部分の面積 $S_2$ をそれぞれ計算します。

放物線 (1) と接線 (2) の交点は、

$-x^2 + 4x = -2x + 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

したがって、$S_1 = \int_3^3 (-x^2 + 4x - (-2x + 9)) dx = \int_3^3 (-x^2 + 6x - 9) dx = 0$. これは、接線が接しているため当たり前。

放物線と接線で囲まれた面積の公式を使うと、

$S_1 = \frac{|-1|}{6}(3-3)^3 = 0$

放物線 (1) と接線 (3) の交点は、

$-x^2 + 4x = 10x + 9$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x + 3)^2 = 0$

$x = -3$

$S_2 = \frac{|-1|}{6}(-3-(-3))^3 = 0$.

交点がそれぞれx=3とx=-3であることと、放物線と接線が接していることから、この計算から面積は求められない。2つの接線と放物線で囲まれた面積を求めるには、x座標が3, -3の２点での放物線に接する2本の接線で囲まれた部分の面積を考える必要がある。放物線$y = ax^2 + bx + c$に$x = \alpha$と$x = \beta$で接する2本の接線が囲む面積は$\frac{|a|}{12} (\beta - \alpha)^3$で表される。

この問題では$y = -x^2 + 4x$に$x = -3$と$x = 3$で接する2本の接線で囲まれた部分の面積なので、面積は

$S = \frac{|-1|}{12}(3-(-3))^3 = \frac{6^3}{12} = \frac{216}{12} = 18$

3. 最終的な答え

アイ：10

ウ：9

エオ：-2

カ：9

キク：18