曲線 $y = x^2(x-2)$ と曲線 $y = ax(x-2)$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を最小にする $a$ の値を求めます。ただし、$0 < a < 2$ とします。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2(x-2)$ と曲線 $y = ax(x-2)$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を最小にする $a$ の値を求めます。ただし、$0 < a < 2$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2(x-2)$ と $y = ax(x-2)$ の交点を求めます。

$x^2(x-2) = ax(x-2)$

$x(x-2)(x-a) = 0$

よって、$x = 0, 2, a$ が交点の $x$ 座標です。

次に、囲まれた部分の面積 $S(a)$ を計算します。$0 < a < 2$ なので、積分区間は $[0, a]$ と $[a, 2]$ に分かれます。

$S(a) = \int_0^a (x^2(x-2) - ax(x-2)) dx + \int_a^2 (ax(x-2) - x^2(x-2)) dx$

$S(a) = \int_0^a (x^3 - (2+a)x^2 + 2ax) dx + \int_a^2 (-x^3 + (2+a)x^2 - 2ax) dx$

$S(a) = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{2+a}{3}x^3 + ax^2]_0^a + [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{2+a}{3}x^3 - ax^2]_a^2$

$S(a) = (\frac{1}{4}a^4 - \frac{2+a}{3}a^3 + a^3) + (-\frac{1}{4}(16) + \frac{2+a}{3}(8) - 4a) - (-\frac{1}{4}a^4 + \frac{2+a}{3}a^3 - a^3)$

$S(a) = \frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{3}a^4 + a^3 -4 + \frac{16}{3} + \frac{8}{3}a - 4a + \frac{1}{4}a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{3}a^4 + a^3$

$S(a) = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{3}a^4 - \frac{2}{3} a^3 - \frac{2}{3} a^3 + 2a^3 - 4 + \frac{16}{3} + \frac{8}{3}a - \frac{12}{3} a$

$S(a) = \frac{1}{6} a^4 + \frac{2}{3} a^3 - \frac{4}{3} a + \frac{4}{3}$

$S'(a) = \frac{2}{3} a^3 + 2a^2 - \frac{4}{3}$

$S'(a) = 0$ を解きます。

$\frac{2}{3} a^3 + 2a^2 - \frac{4}{3} = 0$

$2a^3 + 6a^2 - 4 = 0$

$a^3 + 3a^2 - 2 = 0$

$(a- \sqrt{3} + 1) (a^2 + (\sqrt{3} + 2)a + (\sqrt{3} - 1)) = 0$

$a = \sqrt{3} - 1$ が $0 < a < 2$ を満たします。

$S''(a) = 2 a^2 + 4 a$

$S''(\sqrt{3}-1) = 2(\sqrt{3}-1)^2 + 4(\sqrt{3}-1) = 2(3 - 2\sqrt{3} + 1) + 4\sqrt{3} - 4 = 2(4-2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} - 4 = 8 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 4 = 4 > 0$

よって、$a = \sqrt{3} - 1$ で極小値を取り、これが最小値となります。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{3} - 1$