関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$ で定義されるとき、$f(1)$ と $f(-1)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$ で定義されるとき、$f(1)$ と $f(-1)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を計算します。$f(x)$ は $(x^2-1)^n$ の $n$ 階導関数です。

$f(x) = \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n = \frac{d^n}{dx^n}((x-1)^n(x+1)^n)$

ライプニッツの公式を用いると、

$\frac{d^n}{dx^n}(uv) = \sum_{k=0}^n {}_n C_k \frac{d^k}{dx^k}(u) \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}(v)$

ここで、$u = (x-1)^n$, $v=(x+1)^n$ とします。

$\frac{d^k}{dx^k}(x-1)^n = \frac{n!}{(n-k)!}(x-1)^{n-k}$

$\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}(x+1)^n = \frac{n!}{(k)!}(x+1)^{k}$

よって、

$f(x) = \sum_{k=0}^n {}_n C_k \frac{n!}{(n-k)!}(x-1)^{n-k} \frac{n!}{(k)!}(x+1)^{k}$

$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{n!}{(n-k)!}(x-1)^{n-k} \frac{n!}{k!}(x+1)^{k}$

$f(x) = (n!)^2 \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!} (x-1)^{n-k} (x+1)^k$

次に、$f(1)$ を計算します。

$f(1) = (n!)^2 \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!} (1-1)^{n-k} (1+1)^k$

$f(1) = (n!)^2 \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!} 0^{n-k} 2^k$

$n-k \neq 0$ のとき、$0^{n-k} = 0$ となるので、$n-k=0$, つまり $k=n$ の項だけが残ります。

$f(1) = (n!)^2 \frac{1}{n!0!} 2^n = (n!)^2 \frac{1}{n!} 2^n = n! 2^n$

次に、$f(-1)$ を計算します。

$f(-1) = (n!)^2 \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!} (-1-1)^{n-k} (-1+1)^k$

$f(-1) = (n!)^2 \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!} (-2)^{n-k} 0^k$

$k \neq 0$ のとき、$0^k = 0$ となるので、$k=0$ の項だけが残ります。

$f(-1) = (n!)^2 \frac{1}{0!n!} (-2)^{n-0} 0^0 = (n!)^2 \frac{1}{n!} (-2)^n = n! (-2)^n = (-1)^n n! 2^n$

3. 最終的な答え

$f(1) = 2^n n!$

$f(-1) = (-1)^n 2^n n!$