次の定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{1}{x^2+5} dx$ (2) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{1}{x^2+5} dx$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{1}{x^2+5} dx$ の計算

$x = \sqrt{5} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{5} \sec^2 \theta d\theta$ となります。

$x^2 + 5 = 5 \tan^2 \theta + 5 = 5(\tan^2 \theta + 1) = 5 \sec^2 \theta$

$x=0$ のとき $\theta = 0$ であり、$x = \sqrt{5}$ のとき $\sqrt{5} = \sqrt{5} \tan \theta$ より $\tan \theta = 1$ なので $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{1}{x^2+5} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{5 \sec^2 \theta} \sqrt{5} \sec^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{5}}{5} d\theta$

$= \frac{\sqrt{5}}{5} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta = \frac{\sqrt{5}}{5} [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{5} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\sqrt{5}\pi}{20}$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} dx$ の計算

$x = 4 \sin \theta$ と置換すると、$dx = 4 \cos \theta d\theta$ となります。

$\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16 - 16 \sin^2 \theta} = \sqrt{16(1-\sin^2 \theta)} = \sqrt{16 \cos^2 \theta} = 4 \cos \theta$

$x=0$ のとき $\theta = 0$ であり、$x=2$ のとき $2 = 4 \sin \theta$ より $\sin \theta = \frac{1}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{4 \cos \theta} 4 \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} d\theta$

$= [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}\pi}{20}$

(2) $\frac{\pi}{6}$