## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の2つの部分から構成されています。

(1) 曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$), $x$軸, および直線 $x = \frac{\pi}{2}$ で囲まれた図形を $D$ とおく。

(i) $D$ の面積 $S$ を求める。

(ii) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。

(2) 曲線 $y = e^{-x}$, $x$軸, $y$軸, および直線 $x = 1$ で囲まれた図形を $D$ とおく。

(i) $D$ の面積 $S$ を求める。

(ii) $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。

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2. 解き方の手順

#### (1)

(i) 面積 $S$ を求める。

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$

$S = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$S = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0$

$S = -0 + 1$

$S = 1$

(ii) 体積 $V$ を求める。

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^2 \, dx$

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx$

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$

$V = \frac{\pi}{2} [x - \frac{1}{2} \sin 2x]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin \pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0)]$

$V = \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0)$

$V = \frac{\pi^2}{4}$

#### (2)

(i) 面積 $S$ を求める。

$S = \int_0^1 e^{-x} \, dx$

$S = [-e^{-x}]_0^1$

$S = -e^{-1} - (-e^0)$

$S = -e^{-1} + 1$

$S = 1 - \frac{1}{e}$

(ii) 体積 $V$ を求める。

$V = \pi \int_0^1 (e^{-x})^2 \, dx$

$V = \pi \int_0^1 e^{-2x} \, dx$

$V = \pi [-\frac{1}{2} e^{-2x}]_0^1$

$V = \pi (-\frac{1}{2} e^{-2} - (-\frac{1}{2} e^0))$

$V = \pi (-\frac{1}{2} e^{-2} + \frac{1}{2})$

$V = \frac{\pi}{2} (1 - e^{-2})$

$V = \frac{\pi}{2} (1 - \frac{1}{e^2})$

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3. 最終的な答え

(1)

(i) $S = 1$

(ii) $V = \frac{\pi^2}{4}$

(2)

(i) $S = 1 - \frac{1}{e}$

(ii) $V = \frac{\pi}{2}(1 - \frac{1}{e^2})$