次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{dx}{x(x+1)}$ (2) $\int \frac{dx}{(x+2)(x+3)}$ (3) $\int \frac{dx}{x^2 - 36}$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{dx}{x(x+1)}$

(2) $\int \frac{dx}{(x+2)(x+3)}$

(3) $\int \frac{dx}{x^2 - 36}$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{dx}{x(x+1)}$

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ とおくと、

$1 = A(x+1) + Bx$

$x = 0$ のとき、$A = 1$

$x = -1$ のとき、$B = -1$

したがって、

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\int \frac{dx}{x(x+1)} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1})dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C = \ln|\frac{x}{x+1}| + C$

(2) $\int \frac{dx}{(x+2)(x+3)}$

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$ とおくと、

$1 = A(x+3) + B(x+2)$

$x = -2$ のとき、$A = 1$

$x = -3$ のとき、$B = -1$

したがって、

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

$\int \frac{dx}{(x+2)(x+3)} = \int (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3})dx = \int \frac{1}{x+2} dx - \int \frac{1}{x+3} dx = \ln|x+2| - \ln|x+3| + C = \ln|\frac{x+2}{x+3}| + C$

(3) $\int \frac{dx}{x^2 - 36}$

$\frac{1}{x^2 - 36} = \frac{1}{(x-6)(x+6)}$

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(x-6)(x+6)} = \frac{A}{x-6} + \frac{B}{x+6}$ とおくと、

$1 = A(x+6) + B(x-6)$

$x = 6$ のとき、$12A = 1$ より、$A = \frac{1}{12}$

$x = -6$ のとき、$-12B = 1$ より、$B = -\frac{1}{12}$

したがって、

$\frac{1}{(x-6)(x+6)} = \frac{1}{12}(\frac{1}{x-6} - \frac{1}{x+6})$

$\int \frac{dx}{x^2 - 36} = \frac{1}{12}\int (\frac{1}{x-6} - \frac{1}{x+6})dx = \frac{1}{12}(\int \frac{1}{x-6} dx - \int \frac{1}{x+6} dx) = \frac{1}{12}(\ln|x-6| - \ln|x+6|) + C = \frac{1}{12}\ln|\frac{x-6}{x+6}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln|\frac{x}{x+1}| + C$

(2) $\ln|\frac{x+2}{x+3}| + C$

(3) $\frac{1}{12}\ln|\frac{x-6}{x+6}| + C$