関数 $y = (x+1) \log_e (x(x+1))$ の導関数 $y' = \frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x+1) \log_e (x(x+1))$ の導関数 $y' = \frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分法を使います。

まず、$y = (x+1) \log_e (x(x+1))$ を微分するために、

$u = x+1$ , $v = \log_e (x(x+1))$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(x+1) = 1$

次に、$v$ を微分します。 $v = \log_e (x(x+1)) = \log_e (x^2+x)$

$w = x^2+x$ とおくと、$v = \log_e w$

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx} = \frac{1}{w} \cdot (2x+1) = \frac{2x+1}{x^2+x} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

したがって、$v' = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

積の微分法より

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \log_e(x(x+1)) + (x+1) \cdot \frac{2x+1}{x(x+1)} = \log_e(x(x+1)) + \frac{2x+1}{x}$

$y' = \log_e(x(x+1)) + \frac{2x}{x} + \frac{1}{x} = \log_e(x(x+1)) + 2 + \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

$y' = \log_e(x(x+1)) + 2 + \frac{1}{x}$