区間 $I$ 上の関数 $f$ が狭義単調増加であることの定義を述べる。 $I$ 上の関数 $f$ と $g$ が狭義単調増加かつ正値であるとき、積 $fg$ が狭義単調増加であることを証明する。 $f$ または $g$ が正値と限らないとき、積 $fg$ が狭義単調増加とならない例を挙げる。

1. 問題の内容

区間 $I$ 上の関数 $f$ が狭義単調増加であることの定義を述べる。

$I$ 上の関数 $f$ と $g$ が狭義単調増加かつ正値であるとき、積 $fg$ が狭義単調増加であることを証明する。

$f$ または $g$ が正値と限らないとき、積 $fg$ が狭義単調増加とならない例を挙げる。

2. 解き方の手順

(1) 狭義単調増加の定義

関数 $f: I \to \mathbb{R}$ が狭義単調増加であるとは、任意の $x_1, x_2 \in I$ に対して、$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1) < f(x_2)$ が成り立つことである。

(2) 積 $fg$ が狭義単調増加であることの証明

$f$ と $g$ が狭義単調増加かつ正値であるとする。すなわち、$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1) < f(x_2)$ かつ $g(x_1) < g(x_2)$ であり、$f(x) > 0$ かつ $g(x) > 0$ が任意の $x \in I$ で成り立つ。

$x_1, x_2 \in I$ において、$x_1 < x_2$ とする。このとき、$f(x_1) < f(x_2)$ かつ $g(x_1) < g(x_2)$ が成り立つ。

$f(x_2) - f(x_1) > 0$ かつ $g(x_2) - g(x_1) > 0$ である。

$f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) = f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_2) + f(x_1)g(x_2) - f(x_1)g(x_1)$

$= g(x_2)(f(x_2) - f(x_1)) + f(x_1)(g(x_2) - g(x_1))$

ここで、$g(x_2) > 0$, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, $f(x_1) > 0$, $g(x_2) - g(x_1) > 0$ であるから、

$f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) > 0$ となる。

したがって、$f(x_1)g(x_1) < f(x_2)g(x_2)$ であるから、$fg$ は狭義単調増加である。

(3) $f$ または $g$ が正値と限らないときの反例

$I = \mathbb{R}$ とする。

$f(x) = x$ , $g(x) = x$ とおく。$f(x), g(x)$ は狭義単調増加である。

しかし、$x < 0$ では $f(x) < 0$ かつ $g(x) < 0$ となり、$f$ と $g$ は正値ではない。

$fg(x) = x^2$ であり、$x < 0$ では $x$ が増加すると $x^2$ は減少するので、$fg$ は狭義単調増加ではない。

例えば、$x_1 = -2$, $x_2 = -1$ とすると、$x_1 < x_2$ であるが、$f(x_1)g(x_1) = (-2)^2 = 4$ であり、$f(x_2)g(x_2) = (-1)^2 = 1$ であるから、$f(x_1)g(x_1) > f(x_2)g(x_2)$ となり、狭義単調増加ではない。

3. 最終的な答え

(1) 関数 $f: I \to \mathbb{R}$ が狭義単調増加であるとは、任意の $x_1, x_2 \in I$ に対して、$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1) < f(x_2)$ が成り立つことである。

(2) 関数 $f$ と $g$ が狭義単調増加かつ正値であるとき、積 $fg$ も狭義単調増加である。

(3) $f(x) = x$, $g(x) = x$ とすると、$fg(x) = x^2$ となり、$f$ または $g$ が正値と限らないとき、積 $fg$ は狭義単調増加になるとは限らない。