与えられた3つの関数について、不定積分を求めます。 (1) $\log x$ (2) $x \cos x$ (3) $\sin^{-1} x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、不定積分を求めます。

(1) $\log x$

(2) $x \cos x$

(3) $\sin^{-1} x$

2. 解き方の手順

(1) $\log x$ の不定積分

部分積分を利用します。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

よって、

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

(2) $x \cos x$ の不定積分

部分積分を利用します。$u = x$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

よって、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$

(3) $\sin^{-1} x$ の不定積分

部分積分を利用します。$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となります。

よって、

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。$t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x \, dx$ となり、$x \, dx = -\frac{1}{2} dt$ です。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C' = -\sqrt{t} + C' = -\sqrt{1-x^2} + C'$

したがって、

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - (-\sqrt{1-x^2}) + C = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \log x \, dx = x \log x - x + C$

(2) $\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

(3) $\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$