与えられた2つの1階線形常微分方程式を解きます。 (1) $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$ (2) $\frac{dy}{dx} + y \cos x = \sin 2x$

1. 問題の内容

与えられた2つの1階線形常微分方程式を解きます。

(1) $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$

(2) $\frac{dy}{dx} + y \cos x = \sin 2x$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx} + y = \cos x$ の場合

これは1階線形常微分方程式の標準形 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ で、$P(x) = 1$、$Q(x) = \cos x$ です。

積分因子 $\mu(x)$ を計算します。

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$

微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x \cos x$

左辺は積の微分になります。

$\frac{d}{dx}(e^x y) = e^x \cos x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^x y) dx = \int e^x \cos x dx$

$e^x y = \int e^x \cos x dx$

$\int e^x \cos x dx$ を部分積分で計算します。

$I = \int e^x \cos x dx$

$I = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x dx = e^x \cos x + e^x \sin x - I$

$2I = e^x (\cos x + \sin x)$

$I = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

したがって、$e^x y = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$ となり、$e^x$ で割ると、

$y = \frac{1}{2} (\cos x + \sin x) + Ce^{-x}$

(2) $\frac{dy}{dx} + y \cos x = \sin 2x$ の場合

これは1階線形常微分方程式の標準形 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ で、$P(x) = \cos x$、$Q(x) = \sin 2x$ です。

積分因子 $\mu(x)$ を計算します。

$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \cos x dx} = e^{\sin x}$

微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^{\sin x} \frac{dy}{dx} + e^{\sin x} y \cos x = e^{\sin x} \sin 2x$

左辺は積の微分になります。

$\frac{d}{dx}(e^{\sin x} y) = e^{\sin x} \sin 2x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^{\sin x} y) dx = \int e^{\sin x} \sin 2x dx$

$e^{\sin x} y = \int e^{\sin x} \sin 2x dx = \int e^{\sin x} 2 \sin x \cos x dx$

$t = \sin x$ とすると、$dt = \cos x dx$ なので、

$\int e^t 2t dt = 2 \int t e^t dt$

部分積分で計算します。

$\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + C = (t-1)e^t + C$

したがって、$2 \int t e^t dt = 2 (t-1) e^t + C = 2 (\sin x - 1) e^{\sin x} + C$

$e^{\sin x} y = 2 (\sin x - 1) e^{\sin x} + C$ となり、$e^{\sin x}$ で割ると、

$y = 2 (\sin x - 1) + Ce^{-\sin x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2} (\cos x + \sin x) + Ce^{-x}$

(2) $y = 2 (\sin x - 1) + Ce^{-\sin x}$