以下の6つの数列の極限を求める問題です。極限が存在する場合は、その値を求めます。 (1) $\lim_{n\to\infty} (-2)^n$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^3 + 1}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2 - n}{5n - 3}$ (4) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}$ (5) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}$ (6) $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{1 + a^2}\right)^n$ (ただし、$a \neq 0$)

1. 問題の内容

以下の6つの数列の極限を求める問題です。極限が存在する場合は、その値を求めます。

(1) $\lim_{n\to\infty} (-2)^n$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^3 + 1}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2 - n}{5n - 3}$

(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}$

(5) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}$

(6) $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{1 + a^2}\right)^n$ (ただし、$a \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n\to\infty} (-2)^n$

$(-2)^n$ は、$n$が偶数のとき正の数になり、$n$が奇数のとき負の数になる。絶対値は、$n$が大きくなるにつれて無限大に発散する。したがって、極限は存在しない。

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^3 + 1}$

分子と分母を$n^3$で割る。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^3}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{1}{n^3} \to 0$であるから、極限は$\frac{0 - 0}{1 + 0} = 0$となる。

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2 - n}{5n - 3}$

分子と分母を$n$で割る。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{5 - \frac{3}{n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{3}{n} \to 0$であるから、極限は$\frac{0 - 1}{5 - 0} = -\frac{1}{5}$となる。

(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}$

分子と分母をそれぞれ有理化する。

$\frac{\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})(\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n})(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n})(\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})} = \frac{(n - (n - 1))(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n})}{(n + 2 - n)(\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})} = \frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{2(\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{2(\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1}{2(\sqrt{1} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}})} = \frac{\sqrt{1 + 0} + 1}{2(\sqrt{1} + \sqrt{1 - 0})} = \frac{1 + 1}{2(1 + 1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(5) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}$

$-1 \leq \sin n \leq 1$ であるから、$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$となる。

$\lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n} = 0$ かつ $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ であるから、挟み撃ちの原理より、$\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$となる。

(6) $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{1 + a^2}\right)^n$ (ただし、$a \neq 0$)

$a \neq 0$より、$1 + a^2 > 1$であるから、$0 < \frac{1}{1 + a^2} < 1$となる。

したがって、$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{1 + a^2}\right)^n = 0$となる。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない

(2) 0

(3) $-\frac{1}{5}$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) 0

(6) 0