関数 $x(2x+1)^8$ の不定積分を求めます。

承知いたしました。画像にある問題の中から、問題(1) $x(2x+1)^8$ の不定積分を解きます。

1. 問題の内容

関数 $x(2x+1)^8$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

この不定積分は、置換積分を用いることで解くことができます。

ステップ1: 置換の設定

$u = 2x + 1$ と置換します。このとき、$du = 2dx$ なので、$dx = \frac{1}{2}du$ となります。

また、$x = \frac{u-1}{2}$ であることもわかります。

ステップ2: 置換後の積分

置換積分を行うと、以下のようになります。

$\int x(2x+1)^8 dx = \int \frac{u-1}{2}u^8 \frac{1}{2}du = \frac{1}{4} \int (u-1)u^8 du = \frac{1}{4} \int (u^9 - u^8) du$

ステップ3: 積分の計算

上記の積分を計算します。

$\frac{1}{4} \int (u^9 - u^8) du = \frac{1}{4} (\frac{u^{10}}{10} - \frac{u^9}{9}) + C = \frac{u^{10}}{40} - \frac{u^9}{36} + C$

ステップ4: 元の変数に戻す

$u = 2x + 1$ を代入して、元の変数 $x$ に戻します。

$\frac{(2x+1)^{10}}{40} - \frac{(2x+1)^9}{36} + C$

ステップ5: 整理

$\frac{(2x+1)^9}{360}(9(2x+1) - 10) + C = \frac{(2x+1)^9}{360}(18x + 9 - 10) + C = \frac{(2x+1)^9(18x - 1)}{360} + C$

3. 最終的な答え

$\int x(2x+1)^8 dx = \frac{(2x+1)^9(18x - 1)}{360} + C$ (ただし、$C$ は積分定数)