以下の4つの関数について、不定積分を求める問題です。 (1) $xe^x$ (2) $x\sin x$ (3) $\tan^{-1} x$ (4) $\log(x^2+1)$

1. 問題の内容

以下の4つの関数について、不定積分を求める問題です。

(1) $xe^x$

(2) $x\sin x$

(3) $\tan^{-1} x$

(4) $\log(x^2+1)$

2. 解き方の手順

(1) $xe^x$

部分積分を用います。$u=x$, $dv=e^x dx$とすると、$du=dx$, $v=e^x$なので、

$$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

(2) $x\sin x$

部分積分を用います。$u=x$, $dv=\sin x dx$とすると、$du=dx$, $v=-\cos x$なので、

$$\int x\sin x dx = -x\cos x - \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

(3) $\tan^{-1} x$

部分積分を用います。$u=\tan^{-1} x$, $dv=dx$とすると、$du=\frac{1}{1+x^2} dx$, $v=x$なので、

$$\int \tan^{-1} x dx = x\tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$は、$t=1+x^2$とおくと、$dt=2x dx$なので、

$$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + C' = \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C'$$

よって、

$$\int \tan^{-1} x dx = x\tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

(4) $\log(x^2+1)$

部分積分を用います。$u=\log(x^2+1)$, $dv=dx$とすると、$du=\frac{2x}{x^2+1} dx$, $v=x$なので、

$$\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} dx$$

ここで、

$$\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = \int \frac{2(x^2+1-1)}{x^2+1} dx = \int \left( 2 - \frac{2}{x^2+1} \right) dx = 2x - 2\tan^{-1} x + C'$$

よって、

$$\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - 2x + 2\tan^{-1} x + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^x dx = (x-1)e^x + C$

(2) $\int x\sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$

(3) $\int \tan^{-1} x dx = x\tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(4) $\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - 2x + 2\tan^{-1} x + C$

ここで、$C$は積分定数です。