関数 $f(x) = \frac{2x-3}{x^3+x^2-2}$ の不定積分を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x-3}{x^3+x^2-2}$ の不定積分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。$x^3+x^2-2$ に $x=1$ を代入すると $1^3+1^2-2=0$ なので、$x-1$ は因数です。

$x^3+x^2-2$ を $x-1$ で割ると、$x^2+2x+2$ が得られます。よって、$x^3+x^2-2=(x-1)(x^2+2x+2)$ と因数分解できます。

次に、$f(x)$ を部分分数分解します。

$$\frac{2x-3}{x^3+x^2-2} = \frac{2x-3}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$$

両辺に $(x-1)(x^2+2x+2)$ を掛けると

$$2x-3 = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-1)$$

$$2x-3 = Ax^2+2Ax+2A + Bx^2-Bx+Cx-C$$

$$2x-3 = (A+B)x^2 + (2A-B+C)x + (2A-C)$$

係数を比較すると

$$A+B = 0$$

$$2A-B+C = 2$$

$$2A-C = -3$$

最初の式から $B=-A$、最後の式から $C=2A+3$ となります。

これらを2番目の式に代入すると

$$2A-(-A)+(2A+3) = 2$$

$$5A+3 = 2$$

$$5A = -1$$

$$A = -\frac{1}{5}$$

したがって、$B=\frac{1}{5}$、$C=2(-\frac{1}{5})+3 = -\frac{2}{5}+3 = \frac{13}{5}$ となります。

よって、

$$\frac{2x-3}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{-\frac{1}{5}}{x-1} + \frac{\frac{1}{5}x+\frac{13}{5}}{x^2+2x+2} = -\frac{1}{5}\frac{1}{x-1} + \frac{1}{5}\frac{x+13}{x^2+2x+2}$$

したがって、

$$\int \frac{2x-3}{x^3+x^2-2} dx = -\frac{1}{5}\int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{5}\int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx$$

第1項は、$-\frac{1}{5} \ln |x-1|$ となります。

第2項について、$x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$ なので、$x+1=u$ とすると $x=u-1$、$dx=du$。

$$\int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{u-1+13}{u^2+1} du = \int \frac{u+12}{u^2+1} du = \int \frac{u}{u^2+1} du + \int \frac{12}{u^2+1} du$$

$$\int \frac{u}{u^2+1} du = \frac{1}{2} \ln (u^2+1) = \frac{1}{2} \ln ((x+1)^2+1) = \frac{1}{2} \ln (x^2+2x+2)$$

$$\int \frac{12}{u^2+1} du = 12 \arctan u = 12 \arctan (x+1)$$

よって、

$$\int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2+2x+2) + 12 \arctan (x+1)$$

したがって、

$$\int \frac{2x-3}{x^3+x^2-2} dx = -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \ln (x^2+2x+2) + 12 \arctan (x+1) \right) + C$$

$$= -\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{10} \ln (x^2+2x+2) + \frac{12}{5} \arctan (x+1) + C$$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{5} \ln |x-1| + \frac{1}{10} \ln (x^2+2x+2) + \frac{12}{5} \arctan (x+1) + C$