定積分 $\int_{0}^{\log 7} \frac{e^x}{1+e^x} dx$ の値を $a \log b$ の形で表すとき、$a$ と $b$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\log 7} \frac{e^x}{1+e^x} dx$ の値を $a \log b$ の形で表すとき、$a$ と $b$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$ を計算します。

$u = 1 + e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ となるので、

$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log (1+e^x) + C$

となります。ただし、$C$は積分定数です。

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{0}^{\log 7} \frac{e^x}{1+e^x} dx = [\log(1+e^x)]_{0}^{\log 7} = \log(1+e^{\log 7}) - \log(1+e^0) = \log(1+7) - \log(1+1) = \log 8 - \log 2 = \log \frac{8}{2} = \log 4$

$\log 4$ は $\log 2^2 = 2 \log 2$ と変形できます。

したがって、$\int_{0}^{\log 7} \frac{e^x}{1+e^x} dx = 2 \log 2$ となります。

3. 最終的な答え

$2 \log 2$ なので、$a=2$、$b=2$