$\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$4^n$ でくくり出すことを考えます。

$(2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}} = (4^n((\frac{2}{4})^n + (\frac{3}{4})^n + 1))^{\frac{1}{n}} = 4((\frac{1}{2})^n + (\frac{3}{4})^n + 1)^{\frac{1}{n}}$

次に、極限を考えます。$n \to \infty$ のとき、$(\frac{1}{2})^n \to 0$ であり、$(\frac{3}{4})^n \to 0$ であることに注意します。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} ((\frac{1}{2})^n + (\frac{3}{4})^n + 1)^{\frac{1}{n}} = (0 + 0 + 1)^0 = 1$

よって、

$\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} 4((\frac{1}{2})^n + (\frac{3}{4})^n + 1)^{\frac{1}{n}} = 4 \cdot 1 = 4$

あるいは、別の考え方として、以下のように評価することもできます。

$4^n \le 2^n + 3^n + 4^n \le 3 \cdot 4^n$

各辺を $\frac{1}{n}$ 乗すると

$4 \le (2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}} \le 4 \cdot 3^{\frac{1}{n}}$

ここで、$n \to \infty$ のとき $3^{\frac{1}{n}} \to 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{n}} = 1$ となり、

$\lim_{n \to \infty} 4 \cdot 3^{\frac{1}{n}} = 4 \cdot 1 = 4$

したがって、挟み撃ちの原理より

$\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}} = 4$

3. 最終的な答え

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