与えられた微分方程式を解く問題です。 微分方程式は $y' = y\{(x^{1/x})' \log x + x^{1/x}-1\}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。

微分方程式は $y' = y\{(x^{1/x})' \log x + x^{1/x}-1\}$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$x^{1/x}$ の微分を計算します。$u = x^{1/x}$ とおくと、$\log u = \frac{1}{x} \log x$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$\frac{du}{dx} = u \frac{1 - \log x}{x^2} = x^{1/x} \frac{1 - \log x}{x^2}$

したがって、 $(x^{1/x})' = x^{1/x} \frac{1 - \log x}{x^2}$ です。

与えられた微分方程式に代入すると、

$y' = y\{x^{1/x} \frac{1 - \log x}{x^2} \log x + x^{1/x} - 1\}$

$y' = y\{\frac{x^{1/x}}{x^2} (\log x - (\log x)^2) + x^{1/x} - 1\}$

$\frac{dy}{dx} = y\{\frac{x^{1/x}}{x^2} \log x (1 - \log x) + x^{1/x} - 1\}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{x^{1/x}}{x^2} \log x (1 - \log x) + x^{1/x} - 1$

$\frac{dy}{y} = (\frac{x^{1/x}}{x^2} \log x (1 - \log x) + x^{1/x} - 1) dx$

$y' = y((x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1)$ を変形します。

$\frac{dy}{y} = ((x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1)dx$

$\int \frac{dy}{y} = \int ((x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1)dx$

$\log y = \int (x^{1/x})'\log x dx + \int x^{1/x} dx - \int dx$

部分積分 $\int (x^{1/x})'\log x dx = x^{1/x} \log x - \int x^{1/x} \frac{1}{x} dx$ を用いると、

$\log y = x^{1/x} \log x - \int x^{1/x} \frac{1}{x} dx + \int x^{1/x} dx - x + C$

このまま積分を実行するのは困難であるため、与えられた微分方程式を別の方法で解きます。

$\frac{dy}{dx} = y((x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1)$

$\frac{dy}{y} = ((x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1)dx$

$\frac{dy}{y} - x^{1/x} dx + dx = ((x^{1/x})'\log x - 1) dx$

与えられた式をよく見ると、この式は変数分離形の微分方程式のようになっています。

$\frac{y'}{y} = (x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1$

ここで、積分因子を考えると、$x^{1/x} \log x - x = C$　

$\frac{dy}{y} = ((x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1) dx$

$\int \frac{dy}{y} = \int ((x^{1/x})'\log x + x^{1/x} - 1) dx$

$\log y = \int (x^{1/x})'\log x dx + \int x^{1/x} dx - \int dx$

$y' = y\{ (x^{1/x})' \log x + x^{1/x}-1 \}$

$\frac{y'}{y} = (x^{1/x})' \log x + x^{1/x} - 1$

$\int \frac{dy}{y} = \int [ (x^{1/x})' \log x + x^{1/x}-1 ] dx$

$\log y = \log x \cdot x^{1/x} - \int \frac{x^{1/x}}{x} dx + \int x^{1/x}dx - x + C$

$\log y = \log x \cdot x^{1/x} - x + C$

$y = e^{\log x \cdot x^{1/x} - x + C }$

$y = Ax^{x^{1/x}}e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y = A x^{x^{1/x}} e^{-x}$ (Aは任意の定数)