領域 $D: 1 \le x^2 + y^2 \le 9$ において、二重積分 $I = \iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy$ の値を求めます。

1. 問題の内容

領域 $D: 1 \le x^2 + y^2 \le 9$ において、二重積分 $I = \iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ が円環状であるため、極座標変換を行うのが適切です。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$dxdy = r dr d\theta$ です。

積分領域 $D$ は、$1 \le r^2 \le 9$ より $1 \le r \le 3$ となり、$\theta$ は $0 \le \theta \le 2\pi$ です。

したがって、二重積分は次のように変換されます。

$I = \int_0^{2\pi} \int_1^3 \log(r^2) \, r dr d\theta$

対数の性質 $\log(r^2) = 2 \log r$ を用いると、

$I = \int_0^{2\pi} \int_1^3 2 \log(r) \, r dr d\theta$

積分を計算します。まず、内側の積分を計算します。

$\int_1^3 2 r \log r \, dr = 2 \int_1^3 r \log r \, dr$

部分積分法を用いて、$\int r \log r \, dr$ を計算します。

$u = \log r$, $dv = r dr$ とおくと、$du = \frac{1}{r} dr$, $v = \frac{1}{2} r^2$ となります。

部分積分法より、

$\int r \log r \, dr = \frac{1}{2} r^2 \log r - \int \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{1}{r} dr = \frac{1}{2} r^2 \log r - \frac{1}{2} \int r dr = \frac{1}{2} r^2 \log r - \frac{1}{4} r^2$

したがって、

$2 \int_1^3 r \log r \, dr = 2 \left[ \frac{1}{2} r^2 \log r - \frac{1}{4} r^2 \right]_1^3 = \left[ r^2 \log r - \frac{1}{2} r^2 \right]_1^3 = (9 \log 3 - \frac{9}{2}) - (1 \log 1 - \frac{1}{2}) = 9 \log 3 - \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 9 \log 3 - 4$

次に、外側の積分を計算します。

$I = \int_0^{2\pi} (9 \log 3 - 4) d\theta = (9 \log 3 - 4) \int_0^{2\pi} d\theta = (9 \log 3 - 4) [ \theta ]_0^{2\pi} = (9 \log 3 - 4) (2\pi) = (18 \log 3 - 8) \pi$

3. 最終的な答え

$(18 \log 3 - 8) \pi$