$\int_0^{\pi} \cos(x-\frac{\pi}{2}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_0^{\pi} \cos(x-\frac{\pi}{2}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(x - \frac{\pi}{2})$ を三角関数の加法定理を用いて展開します。

$\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos(x)\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(x)\sin(\frac{\pi}{2})$

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ と $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ であるから、

$\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos(x) \cdot 0 + \sin(x) \cdot 1 = \sin(x)$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^{\pi} \cos(x - \frac{\pi}{2}) dx = \int_0^{\pi} \sin(x) dx$

$\sin(x)$ の不定積分は $-\cos(x)$ です。したがって、定積分は次のようになります。

$\int_0^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -\cos(\pi) + \cos(0)$

$\cos(\pi) = -1$ と $\cos(0) = 1$ であるから、

$-\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

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