与えられた広義積分の値を求める問題と、広義積分が収束するかどうかを判定する問題です。

はい、承知いたしました。広義積分の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた広義積分の値を求める問題と、広義積分が収束するかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

(問題2)

(1) $\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx$

これは広義積分なので、次のように計算します。

$\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{-2} dx$

$\int_{1}^{t} x^{-2} dx = [-x^{-1}]_{1}^{t} = -\frac{1}{t} - (-1) = 1 - \frac{1}{t}$

$\lim_{t \to \infty} (1 - \frac{1}{t}) = 1$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^{2}} dx$

これは部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^{2}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{\log x}{x^{2}} dx$

$\int_{1}^{t} \frac{\log x}{x^{2}} dx = [-\frac{\log x}{x}]_{1}^{t} - \int_{1}^{t} (-\frac{1}{x}) \frac{1}{x} dx = [-\frac{\log x}{x}]_{1}^{t} + \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} dx$

$=[-\frac{\log x}{x}]_{1}^{t} + [-\frac{1}{x}]_{1}^{t} = -\frac{\log t}{t} - (-\frac{\log 1}{1}) - \frac{1}{t} - (-\frac{1}{1})$

$= -\frac{\log t}{t} - \frac{1}{t} + 1$

$\lim_{t \to \infty} (-\frac{\log t}{t} - \frac{1}{t} + 1) = 0 - 0 + 1 = 1$

(ロピタルの定理より $\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t}=0$)

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} - 1} dx$

積分区間に $x=1$ が含まれているため、積分を分割する必要があります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} - 1} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - 1} dx + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} - 1} dx$

$\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{2} (\log|x-1| - \log|x+1|) = \frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}|$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - 1} dx = \lim_{t \to 1^-} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} - 1} dx = \lim_{t \to 1^-} [\frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}|]_0^t = \lim_{t \to 1^-} \frac{1}{2} \log|\frac{t-1}{t+1}| = -\infty$

したがって、この積分は発散します。

(問題3)

(1) $\int_{0}^{1} |\sin \frac{1}{x}| dx$

$0 < x < 1$ のとき、 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$ であるので、これは収束します。

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$

$x \to 0$ で被積分関数は発散します。

$\sin x \approx x$ for $x \approx 0$ なので、 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx \approx \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to 0} [\log x]_t^{\pi/2} = \lim_{t \to 0} \log(\frac{\pi}{2}) - \log(t) = \infty$.

したがって、この積分は発散します。

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{3} + 1}} dx$

$x \to \infty$ で $x^3 + 1 \approx x^3$なので、$\frac{1}{\sqrt{x^3 + 1}} \approx \frac{1}{x^{3/2}}$となります。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} dx$ は収束するので、$x\to\infty$ では収束します。

$x \to 0$ では $\frac{1}{\sqrt{x^3+1}} \to 1$ となり、特異点ではないので積分は収束します。

したがって、この積分は収束します。

3. 最終的な答え

(問題2)

(1) 1

(2) 1

(3) 発散

(問題3)

(1) 収束

(2) 発散

(3) 収束