与えられた二つの二変数関数 $f(x, y)$ について、$(x, y)$ が $(0, 0)$ に近づくときの極限値を求める問題です。 (i) $f(x, y) = \frac{x^2 y^2}{e^{(x^2 + y^2)}}$ (ii) $f(x, y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$

1. 問題の内容

与えられた二つの二変数関数 $f(x, y)$ について、$(x, y)$ が $(0, 0)$ に近づくときの極限値を求める問題です。

(i) $f(x, y) = \frac{x^2 y^2}{e^{(x^2 + y^2)}}$

(ii) $f(x, y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

(i)

まず、$x^2+y^2=r^2$ とおき、極座標で考えます。

$f(x, y) = \frac{x^2 y^2}{e^{(x^2 + y^2)}} = \frac{x^2 y^2}{e^{r^2}}$

ここで、 $x^2 \le x^2+y^2 = r^2$ および $y^2 \le x^2+y^2 = r^2$ より、 $x^2 y^2 \le (x^2+y^2)^2 = r^4$ が成り立ちます。

したがって、

$0 \le \left|\frac{x^2 y^2}{e^{(x^2 + y^2)}}\right| \le \frac{r^4}{e^{r^2}}$

$\lim_{r \to 0} \frac{r^4}{e^{r^2}} = 0$　

（$\lim_{r \to 0} \frac{r^2}{e^{r^2}} = 0$ より。例えば、ロピタルの定理を適用すると $\lim_{r \to 0} \frac{r^2}{e^{r^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{2r}{2r e^{r^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{1}{e^{r^2}} = 1$ となる誤りやすいので注意。$r^2$を$u$と置換すると、$r \to 0$ のとき $u \to 0$ なので、$\lim_{u \to 0} \frac{u}{e^u} = 0$ である。）

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y^2}{e^{(x^2 + y^2)}} = 0$

(ii)

$r^2 = x^2 + y^2$ とおくと、

$f(x, y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = \frac{\sin(r^2)}{r^2}$

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2)}{r^2}$

$u = r^2$ とおくと、$r \to 0$ のとき $u \to 0$ であるから、

$\lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2)}{r^2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$

したがって、

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = 1$

3. 最終的な答え

(i) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y^2}{e^{(x^2 + y^2)}} = 0$

(ii) $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = 1$