関数 $f(x) = e^{1-x^2}$ のグラフの概形を把握するための問題です。 まず、与えられた増減表と$f'(x)$の符号から関数の増減を調べ、空欄を埋めます。 次に、$f'(x)$と$f''(x)$の符号からグラフの凹凸を調べ、それぞれの区間に対応する概形を選択します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{1-x^2}$ のグラフの概形を把握するための問題です。

まず、与えられた増減表と$f'(x)$の符号から関数の増減を調べ、空欄を埋めます。

次に、$f'(x)$と$f''(x)$の符号からグラフの凹凸を調べ、それぞれの区間に対応する概形を選択します。

2. 解き方の手順

Q5:

(1) $f'(x)$ の符号に着目します。$x<0$ では $f'(x)>0$ であり、$0<x$ では $f'(x)<0$ です。

(2) $x < 0$ では $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

(3) $0 < x$ では $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

(4) $x=0$ では $f'(x) = 0$ であり、$f(x)$ は増加から減少に転じるため、$x=0$ で $f(x)$ は極大となります。

Q6:

グラフの凹凸を調べるために、$f'(x)$ と $f''(x)$ の符号に着目します。

(1) $x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f'(x) > 0$ かつ $f''(x) > 0$ なので、グラフは上に凸で増加します。したがって、概形はBです。

(2) $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$ かつ $f''(x) < 0$ なので、グラフは下に凸で増加します。したがって、概形はAです。

(3) $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f'(x) < 0$ かつ $f''(x) < 0$ なので、グラフは下に凸で減少します。したがって、概形はDです。

(4) $\frac{1}{\sqrt{2}} < x$ のとき、$f'(x) < 0$ かつ $f''(x) > 0$ なので、グラフは上に凸で減少します。したがって、概形はCです。

3. 最終的な答え

Q5:

(1) 正

(2) 増加

(3) 減少

(4) 極大

Q6:

(1) B

(2) A

(3) D

(4) C