数列 $\{a_n\}$ が $a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ ($n=1, 2, \dots$) で定義されているとき、この数列が単調増加数列であることを二項定理を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ ($n=1, 2, \dots$) で定義されているとき、この数列が単調増加数列であることを二項定理を用いて証明する。

2. 解き方の手順

$a_n$を二項定理で展開する。

$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{1}{n^k}$$

$$= \sum_{k=0}^n \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k! n^k} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n}$$

$$= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left(1\right) \left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$

同様に、$a_{n+1}$を二項定理で展開する。

$$a_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \left(\frac{1}{n+1}\right)^k = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} \frac{1}{(n+1)^k}$$

$$= \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} \frac{n+1}{n+1} \frac{n}{n+1} \cdots \frac{n-k+2}{n+1}$$

$$= \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} \left(1\right) \left(1-\frac{1}{n+1}\right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)$$

$a_n$と$a_{n+1}$の各項を比較すると、$0 \leq k \leq n$に対して、

$$1-\frac{j}{n} < 1-\frac{j}{n+1}, \quad (j=1, 2, \dots, k-1)$$

である。

よって、$a_n$ の各項は $a_{n+1}$ の対応する項よりも小さい。

また、$a_{n+1}$ は $k=n+1$ の項も持っているので、 $a_n < a_{n+1}$ となる。

したがって、数列$\{a_n\}$は単調増加数列である。

3. 最終的な答え

数列$\{a_n\}$は単調増加数列である。