$n$ を自然数とするとき、関数 $y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、関数 $y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけることを試みる。

$y = (x-1)e^x$

$y' = (x-1)'e^x + (x-1)(e^x)' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$

$y'' = (xe^x)' = x'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y''' = ((x+1)e^x)' = (x+1)'e^x + (x+1)(e^x)' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

ここから、$y^{(n)} = (x + n - 1)e^x$ と予想できる。これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$y' = xe^x$ であり、$x + 1 - 1 = x$ なので成立する。

(ii) $n=k$ で $y^{(k)} = (x + k - 1)e^x$ が成立すると仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、

$y^{(k+1)} = (y^{(k)})' = ((x + k - 1)e^x)' = (x + k - 1)'e^x + (x + k - 1)(e^x)'$

$= e^x + (x + k - 1)e^x = (x + k)e^x$

これは、$x + (k+1) - 1 = x + k$ なので、$n = k+1$ でも成立する。

したがって、数学的帰納法により、$y^{(n)} = (x + n - 1)e^x$ が全ての自然数 $n$ で成立する。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (x+n-1)e^x$