$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax+3}-1}{x-2}$ が有限の値に収束するためには、$x \to 2$ のとき分子が0に近づく必要があります。

したがって、

$\sqrt{2a+3}-1 = 0$

$\sqrt{2a+3} = 1$

$2a+3 = 1$

$2a = -2$

$a = -1$

$a = -1$ のとき、

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x+3}-1}{x-2}$

分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x+3}-1}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{-x+3}-1)(\sqrt{-x+3}+1)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(-x+3)-1}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-x+2}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(\sqrt{-x+3}+1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x+3}+1}$

$= \frac{-1}{\sqrt{-2+3}+1}$

$= \frac{-1}{\sqrt{1}+1}$

$= \frac{-1}{1+1}$

$= -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$ のとき、極限値は $-\frac{1}{2}$ です。