与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \left[ \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \right]$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{n \to \infty} \left[ \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \right]$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \frac{1}{n}$ を $e$ を用いた式に変形することを考えます。

$n$ が無限大に近づくとき、$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ は $e^x$ に近づきます。

与えられた式は $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ なので、$x = -1$ と考えられます。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

となります。

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ の極限を取った後、さらに外側の括弧で囲まれた部分の極限を取ることを考えます。しかし、$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ は $n$ に依存しない定数 $\frac{1}{e}$ に収束するので、結局

$\lim_{n \to \infty} \left[ \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \right] = \frac{1}{e}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$