極限 $\lim_{x\to -1} \frac{ax^2+bx+2}{x+1} = 1$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x\to -1} \frac{ax^2+bx+2}{x+1} = 1$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \to -1$ のとき、分母 $x+1 \to 0$ となる。極限値が存在するためには、分子 $ax^2 + bx + 2$ も $0$ に収束する必要がある。

したがって、

$a(-1)^2 + b(-1) + 2 = 0$

$a - b + 2 = 0$

$b = a + 2$

となる。

次に、分子を因数分解する。

$ax^2 + bx + 2 = ax^2 + (a+2)x + 2$

$ax^2 + (a+2)x + 2 = (x+1)(ax+2)$

したがって、

$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x+1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(ax+2)}{x+1} = \lim_{x \to -1} (ax+2)$

$\lim_{x \to -1} (ax+2) = -a + 2$

これが $1$ に等しいから、

$-a + 2 = 1$

$a = 1$

$b = a + 2 = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

$a = 1, b = 3$