極限 $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1$ を因数分解するために、$x=-1$を代入してみると、

$(-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$となるので、$x+1$を因数に持つことがわかります。

そこで、$x^3 - x^2 - x + 1$ を $x+1$ で割ると、

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x+1)(x^2 - 2x + 1) = (x+1)(x-1)^2$

となります。したがって、

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x+1)(x-1)^2} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{(x-1)^2}$

$x$ を $-1$ に近づけると、$x-1$ は $-1 - 1 = -2$ に近づき、$(x-1)^2$ は $(-2)^2 = 4$ に近づきます。

したがって、

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$