3次元空間 $\mathbb{R}^3$ 内の点 $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ で、$x^2 + y^2 + \frac{z^2}{4} \le 1$ を満たす領域 $V$ を考える。 (i) 領域 $V$ を図示せよ。 (ii) 領域 $V$ の体積を求めよ。

1. 問題の内容

3次元空間 $\mathbb{R}^3$ 内の点 $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ で、$x^2 + y^2 + \frac{z^2}{4} \le 1$ を満たす領域 $V$ を考える。

(i) 領域 $V$ を図示せよ。

(ii) 領域 $V$ の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 領域 $V$ は、楕円面 $x^2 + y^2 + \frac{z^2}{4} = 1$ の内部である。これは、xy平面に平行な断面が円であり、z軸方向の半径が他の2軸方向の半径の2倍である楕円体を表す。

(ii) 領域 $V$ の体積を求めるために、極座標を用いる。

まず、変数変換を行う：

$x = r\sin\theta\cos\phi$

$y = r\sin\theta\sin\phi$

$z = 2r\cos\theta$

ここで、$0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \phi \le 2\pi$ である。

この変数変換のヤコビアンは、

$J = \begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\

\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\

\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi}

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\

\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\

2\cos\theta & -2r\sin\theta & 0

\end{vmatrix}$

$= 2r^2\sin\theta$

したがって、$V$ の体積は、

$\iiint_V dxdydz = \int_0^1 \int_0^\pi \int_0^{2\pi} |J| d\phi d\theta dr$

$= \int_0^1 \int_0^\pi \int_0^{2\pi} 2r^2\sin\theta d\phi d\theta dr$

$= 2 \int_0^1 r^2 dr \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi$

$= 2 \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 \left[-\cos\theta\right]_0^\pi \left[\phi\right]_0^{2\pi}$

$= 2 \left(\frac{1}{3}\right) (1 - (-1)) (2\pi)$

$= 2 \left(\frac{1}{3}\right) (2) (2\pi)$

$= \frac{8\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\pi}{3}$