与えられた画像は、ある関数 $f(x)$ のグラフに関する問題です。 Q7ではグラフの凹凸、Q8では $|x| \to \infty$ におけるグラフの様子、そしてQ9では、これらの観察結果をもとに、$f(x)$ のグラフの形について正しい記述を選ぶ問題が出題されています。 特に、Q9は選択肢の中から正しい記述を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた画像は、ある関数 $f(x)$ のグラフに関する問題です。

Q7ではグラフの凹凸、Q8では $|x| \to \infty$ におけるグラフの様子、そしてQ9では、これらの観察結果をもとに、$f(x)$ のグラフの形について正しい記述を選ぶ問題が出題されています。

特に、Q9は選択肢の中から正しい記述を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = e^{1-x^2}$ であることに注目します。

- $u=1-x^2$ であり、$f(x) = e^u$ です。

- $|x|$ が大きくなると、$x^2$ も大きくなり、$1-x^2$ は負の方向に大きくなります。

- 指数関数 $e^u$ において、$u$ が負の方向に大きくなると、$e^u$ は 0 に近づきます。

したがって、$|x| \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$ となります。グラフはx軸に漸近します。また、$f(x)$ は常に正の値をとります。

$f'(x) = e^{1-x^2} \cdot (-2x)$ です。

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0$ のときのみです。

$x<0$ のとき $f'(x)>0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x>0$ のとき $f'(x)<0$ なので、$f(x)$ は減少します。

よって、$x=0$ で最大値 $f(0) = e$ をとります。

$f''(x) = -2e^{1-x^2} + (-2x)^2e^{1-x^2} = e^{1-x^2}(4x^2-2)$.

$f''(x) = 0$ となるのは、$4x^2-2=0$ のとき、つまり、$x^2=\frac{1}{2}$ のときなので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときです。

これらのことから、

- グラフは最大値を一つ持ちます。

- $|x|$ が大きくなると、グラフは裾を引くようにx軸に漸近します。

- $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で変曲点を持ちます。

- $|x|$ が大きくなると、$y$ の値は $-\infty$ に近づくのではなく、0 に近づきます。

3. 最終的な答え

(3) 最大値を1つもち、$|x|$ が大きくなると、最大値を実現する点の両側にそれぞれ1つずつ変曲点をもちながら、$y$ の値が $-\infty$ に近づく

…は誤りであり、

(2) 最大値を1つもち、$|x|$ が大きくなるとグラフは裾を引くようにx軸に漸近する

…が正しい記述です。