問題文は3つの小問から構成されています。 Q7: グラフの凹凸に関する問題で、$|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ でのグラフの凹凸、 $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ でのグラフの凹凸、 $|x| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で何を持つかを答える問題です。 Q8: $f(x) = e^{1-x^2}$ のグラフの $|x| \to \infty$ での様子を答える問題です。 Q9: 以上の観察をまとめた上で、$f(x)$ のグラフの形について正しい記述を選択する問題です。選択肢は3つあります。

1. 問題の内容

問題文は3つの小問から構成されています。

Q7: グラフの凹凸に関する問題で、$|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ でのグラフの凹凸、 $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ でのグラフの凹凸、 $|x| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で何を持つかを答える問題です。

Q8: $f(x) = e^{1-x^2}$ のグラフの $|x| \to \infty$ での様子を答える問題です。

Q9: 以上の観察をまとめた上で、$f(x)$ のグラフの形について正しい記述を選択する問題です。選択肢は3つあります。

2. 解き方の手順

Q7:

$f(x) = e^{1-x^2}$ とおくと、

$f'(x) = e^{1-x^2} (-2x) = -2x e^{1-x^2}$

$f''(x) = -2 e^{1-x^2} -2x e^{1-x^2} (-2x) = -2 e^{1-x^2} + 4x^2 e^{1-x^2} = (4x^2 - 2)e^{1-x^2} = 2(2x^2 - 1) e^{1-x^2}$

$f''(x) = 0$ となるのは、$2x^2 - 1 = 0$ すなわち $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときです。

$|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$2x^2 - 1 > 0$ より $f''(x) > 0$ なので、下に凸です。

$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$2x^2 - 1 < 0$ より $f''(x) < 0$ なので、上に凸です。

$|x| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f''(x) = 0$ なので、変曲点を持ちます。

Q8:

$f(x) = e^{1-x^2}$ について、$|x| \to \infty$ のとき、$1 - x^2 \to -\infty$ なので、$f(x) \to 0$ です。

したがって、$f(x)$ のグラフは $x$ 軸に漸近します。

$f'(x) = -2x e^{1-x^2}$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のときです。

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$x = 0$ で極大値（最大値）を持ちます。

Q9:

以上の観察をまとめると、

- 最大値を1つ持つ

- $|x|$ が大きくなると、グラフは裾を引くように $x$ 軸に漸近する

3. 最終的な答え

Q7: $|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ではグラフは下に凸、$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ ではグラフは上に凸、$|x| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で変曲点を持つ。

Q8: $f(x)$ のグラフは $x$ 軸に漸近する。

Q9: (2) 最大値を1つもち、$|x|$ が大きくなるとグラフは裾を引くように $x$ 軸に漸近する