数列 $\{a_n\}$ が $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ （$n = 1, 2, \dots$）で定義されるとき、この数列 $\{a_n\}$ が単調増加数列であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ （$n = 1, 2, \dots$）で定義されるとき、この数列 $\{a_n\}$ が単調増加数列であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ が単調増加であることを示すためには、$a_{n+1} > a_n$ を示す必要があります。

まず、$a_n$ と $a_{n+1}$ を書き下します。

$a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$

$a_{n+1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}$

次に、$\log a_n$ と $\log a_{n+1}$ を計算します。

$\log$ は自然対数とします。

$\log a_n = n \log (1 + \frac{1}{n})$

$\log a_{n+1} = (n+1) \log (1 + \frac{1}{n+1})$

ここで、$f(x) = (x + \frac{1}{2}) \log (1 + \frac{1}{x})$ という関数を考えます。

$\log a_n = n \log (1 + \frac{1}{n})$ であることより、$n + \frac{1}{2} > n$ に注意して、$f(n)$ と $f(n+1)$ の大小関係を比較します。

$f(x)$ を微分すると

$f'(x) = \log(1 + \frac{1}{x}) + (x + \frac{1}{2}) \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} (-\frac{1}{x^2})$

$= \log(1 + \frac{1}{x}) + (x + \frac{1}{2}) \frac{x}{x + 1} (-\frac{1}{x^2})$

$= \log(1 + \frac{1}{x}) - \frac{x + \frac{1}{2}}{x(x + 1)}$

$= \log(1 + \frac{1}{x}) - \frac{2x + 1}{2x(x + 1)}$

$= \log(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{2x} + \frac{1}{2(x+1)}$

ここで $\log(1 + \frac{1}{x})$ をTaylor展開すると

$\log(1 + \frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots$

よって

$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots - \frac{1}{2x} + \frac{1}{2(x+1)}$

$= \frac{1}{2x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots + \frac{1}{2(x+1)}$

ここで、$x+1 > x$ より、$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x}$ なので $f'(x) > 0$

よって$f(x)$は単調増加。

$f(n) < f(n+1)$より、$(n + \frac{1}{2}) \log(1 + \frac{1}{n}) < (n + 1 + \frac{1}{2}) \log(1 + \frac{1}{n+1})$

が成立する。

しかし、これは $a_n < a_{n+1}$ を示すものではない。

別の方法として、$a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ に対して、二項定理を用いる。

$a_n = (1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\frac{1}{n})^k = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1) \dots (n-k+1)}{k!} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1)(1 - \frac{1}{n}) \dots (1 - \frac{k-1}{n})$

$a_{n+1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} (1)(1 - \frac{1}{n+1}) \dots (1 - \frac{k-1}{n+1})$

$a_n$と$a_{n+1}$を比較する。

$a_n$の各項は$a_{n+1}$に対応する項を持つ。$a_{n+1}$の各項は$a_n$の対応する項より大きい。

また、$a_{n+1}$は$a_n$より1つ項が多い。したがって、$a_n < a_{n+1}$。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ は単調増加数列である。