数列 $\{a_n\}$ が $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ を満たすとき、 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \alpha$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ を満たすとき、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \alpha$

が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ より、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n > N$ ならば $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つ。

ここで、$b_n = a_n - \alpha$ とおくと、$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$ である。

示すべきは、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \alpha$ すなわち、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 - \alpha + a_2 - \alpha + \cdots + a_n - \alpha}{n} = 0$

である。これは、$\lim_{n \to \infty} \frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n} = 0$ を示すことに等しい。

任意の $\epsilon > 0$ をとる。$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$ より、ある自然数 $N$ が存在して、$n > N$ ならば $|b_n| < \epsilon$ が成り立つ。

$\frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n} = \frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_N}{n} + \frac{b_{N+1} + \cdots + b_n}{n}$

ここで、$M = |b_1| + |b_2| + \cdots + |b_N|$ とおくと、

$|\frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_N}{n}| \le \frac{M}{n}$

また、$|\frac{b_{N+1} + \cdots + b_n}{n}| \le \frac{|b_{N+1}| + \cdots + |b_n|}{n} < \frac{(n-N)\epsilon}{n} < \epsilon$

したがって、

$|\frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n}| \le |\frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_N}{n}| + |\frac{b_{N+1} + \cdots + b_n}{n}| < \frac{M}{n} + \epsilon$

ここで、$n > \frac{M}{\epsilon}$ となるように $n$ を選ぶと、$\frac{M}{n} < \epsilon$ であるから、

$|\frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n}| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$

したがって、十分大きな $n$ に対して $|\frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n}|$ はいくらでも小さくなるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n} = 0$

よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \alpha$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \alpha$