3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ のグラフが与えられており、$f(0)$, $f'(-2)$, $f'(2)$ の値と、$a, b, c, d$ の符号を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ のグラフが与えられており、$f(0)$, $f'(-2)$, $f'(2)$ の値と、$a, b, c, d$ の符号を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **$f(0)$ の値:**

グラフから、$x=0$ のとき $y=2$ なので、

$f(0) = 2$

* **$f'(-2)$ の値:**

グラフから、$x=-2$ で極小値をとるので、$f'(-2) = 0$

* **$f'(2)$ の値:**

グラフから、$x=2$ で傾きが正なので、$f'(2) > 0$

* **$a, b, c, d$ の符号:**

* $d$ について: $f(0)=d$ であるから、$f(0)=2$ より、$d>0$

* $a$ について: $x \to \infty$ で $f(x) \to -\infty$ であるので、$a<0$

* $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

* $x = -2$ で極小値をとるので、$f'(-2) = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0$

* グラフは、$x=2$ のとき傾きは正であり、$x>0$ で極大値をとる点があることより、$b<0$

* $f'(2)>0$ より、$12a+4b+c>0$.

* $12a - 4b + c = 0$より、$c=4b-12a$.

* $12a+4b+c=12a+4b+4b-12a = 8b>0$.

* $8b>0$ であるが、$b<0$ よりこれは矛盾。

* $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$は、$x=-2$ のときに$f'(-2)=0$ を満たし、$x=2$の時に$f'(2)>0$であることから、 $b<0$ であると断定できない。

* $f'(-2) = 12a - 4b + c = 0$

$f'(2) = 12a + 4b + c > 0$

2つの式を辺々引くと、

$-8b < 0$

$b > 0$

* $d = f(0) = 2 > 0$

* $d>0$

* $a<0$

* $b>0$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 0

ウ: 2

エ: 0

オ: 2

カ: 2

キ: 2