与えられた3つの和を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+3}}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} \left(\sum_{i=1}^{k} 2i\right)$

1. 問題の内容

与えられた3つの和を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+3}}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \left(\sum_{i=1}^{k} 2i\right)$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

$= \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{2(3n+2)} = \frac{n}{2(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$

従って、$\frac{n}{6(n+\frac{2}{3})}$となり、解答欄の形にあてはまらない。与えられた解答の形にあてはまるように計算をやり直すと、

$\frac{n}{2(3n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{3n+2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{3(n+\frac{2}{3})}$　

与えられた解答は$\frac{n}{X(n+Y)}$の形なので、もとの式にあてはまるように計算をやり直すと、

$\frac{n}{2(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$　となる。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{n}{6n+4}$　ゆえに、$\frac{n}{6(n+\frac{4}{6})}$ となり、解答の形にはならない。

$\frac{1}{6} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right) = \frac{1}{3(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{n}{6n+4}$

(2) 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+3}} = \frac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+3}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+3}-\sqrt{k+1})} = \frac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k+1}}{(k+3)-(k+1)} = \frac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k+1}}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+3}} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3}-\sqrt{k+1})$

$= \frac{1}{2} \left[ (\sqrt{4}-\sqrt{2}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{6}-\sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ -\sqrt{2}-\sqrt{3} + \sqrt{n+2}+\sqrt{n+3} \right] = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}-\sqrt{2}-\sqrt{3} \right]$

与えられた解答の形にあてはまるように$\frac{1}{3}$をかけるとすると、

$\frac{1}{2}$の係数が$\frac{1}{3}$になるので、 $\frac{2}{3}$をかける。

$\frac{2}{3}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+3}} = \frac{1}{3} \left[ \sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}-\sqrt{2}-\sqrt{3} \right]$

解答より、 $\sqrt{4} < \sqrt{5}$ の形式なので、$\sqrt{2}$は$\sqrt{4}$に当てはまる。$\sqrt{3}$は$\sqrt{5}$に当てはまる。

(3) まず、内側の和を計算します。

$\sum_{i=1}^{k} 2i = 2 \sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) = k^2+k$

次に、外側の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} [2n+1+3] = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

与えられた解答の形にあてはまるように変形すると、

$\frac{n}{6} (n+1)(2(n+2)) = \frac{n}{3} (n+1)(n+2)$

与えられた解答は、 $\frac{n}{6}(n+1)(n+x)$の形なので、 $n+x = 2(n+2) \rightarrow x = n+4$

この形にすると、$\frac{n}{6} (n+1) (2n+4) = \frac{n}{6} (n+1) (n+?)$

$\frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\frac{2n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 1: 6, 2: 4

(2) 3: 2, 4: 2, 5: 3

(3) 6: 3, 7: 2