与えられた曲線と直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $y = \sqrt{x}$、x軸、$x = 1$、$x = 2$で囲まれた部分の面積。 (2) $y = \sqrt{x}$、y軸、$y = 2$で囲まれた部分の面積。 (3) $y = e^x$、$y = \frac{1}{x+1}$、$x = 1$で囲まれた部分の面積。

1. 問題の内容

与えられた曲線と直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $y = \sqrt{x}$、x軸、$x = 1$、$x = 2$で囲まれた部分の面積。

(2) $y = \sqrt{x}$、y軸、$y = 2$で囲まれた部分の面積。

(3) $y = e^x$、$y = \frac{1}{x+1}$、$x = 1$で囲まれた部分の面積。

2. 解き方の手順

(1) 面積$S$は、$y = \sqrt{x}$ を $x = 1$ から $x = 2$ まで積分することで求められます。

$S = \int_{1}^{2} \sqrt{x} dx = \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} dx$

$S = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

(2) $y = \sqrt{x}$ を変形すると $x = y^2$ となります。

y軸、$y = \sqrt{x}$、$y = 2$で囲まれた面積は、$x = y^2$を $y=0$ から $y=2$ まで積分することで求められます。

$S = \int_{0}^{2} y^2 dy = \left[ \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3}(2^3 - 0^3) = \frac{8}{3}$

(3) $y = e^x$ と $y = \frac{1}{x+1}$、$x = 1$で囲まれた部分の面積を求めるためには、$x=0$から$x=1$の範囲で$e^x$と$\frac{1}{x+1}$の大小関係を調べる必要があります。$e^0 = 1$、$\frac{1}{0+1} = 1$なので、$x=0$では等しいです。$x = 1$ において、$y=e^1 = e$、$y=\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$なので、$y=e^x$の方が大きいです。そこで、$x=0$から$x=1$まで$e^x - \frac{1}{x+1}$を積分して、面積を求めます。

$S = \int_{0}^{1} (e^x - \frac{1}{x+1})dx = [e^x - \log(x+1)]_{0}^{1} = (e^1 - \log(1+1)) - (e^0 - \log(0+1)) = e - \log 2 - 1 + 0 = e - \log 2 - 1$

(1)

ア = 2

イ = 3

ウ = 2

エ = 2

オ = 1

(2)

カ = 8

キ = 3

(3)

ク = e - 1

ケ = 2

コ = 0

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)$

ア/イ = 2/3

ウ = 2

エ = 2

オ = 1

(2) $S = \frac{8}{3}$

カ/キ = 8/3

(3) $S = e - 1 - \log 2$

ク = e - 1

ケ = 2

コ = 0