(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ の収束・発散を調べよ。 (2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx$ の収束・発散を調べよ。

1. 問題の内容

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ の収束・発散を調べよ。

(2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx$ の収束・発散を調べよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{1}^{\infty} \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ について、$\left| 2\cos x + 3 \right| \le 5$ なので、

$\frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} \le \frac{5}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} dx$ は発散するので、このままでは比較判定法は使えない。

しかし、$x \rightarrow \infty$ のとき、$2\cos x + 3 > 0$ となる区間が無限に続くので、比較判定法を使える。

$\frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ となる区間が存在する。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} dx$ は発散するので、$\int_{1}^{\infty} \frac{2\cos x + 3}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ も発散する。

(2)

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{7}{5}} + x^3} dx$ について、$x \rightarrow 0$ のとき、$x^3$ より $x^{\frac{7}{5}}$ の方が速く $0$ に近づくので、$x^{\frac{7}{5}}$ で比較する。

$\frac{1}{x^{\frac{7}{5}} + x^3} \sim \frac{1}{x^{\frac{7}{5}}}$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{7}{5}}} dx = \int_{0}^{1} x^{-\frac{7}{5}} dx = \left[ \frac{x^{-\frac{2}{5}}}{-\frac{2}{5}} \right]_{0}^{1} = \left[ -\frac{5}{2} x^{-\frac{2}{5}} \right]_{0}^{1} = -\frac{5}{2} - \lim_{x \rightarrow 0} \left( -\frac{5}{2} x^{-\frac{2}{5}} \right)$

$\lim_{x \rightarrow 0} \left( x^{-\frac{2}{5}} \right) = \infty$ なので、$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{7}{5}}} dx$ は発散する。

したがって、$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[5]{x^7} + x^3} dx$ も発散する。

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 発散