$xy$ 平面上を運動する点 $P$ の時刻 $t$ における座標が $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$ で与えられているとき、 $\frac{dx}{dt}$, $\frac{dy}{dt}$ を求め、 $t=0$ から $t=\pi$ までの点 $P$ が動く道のり $l$ を計算する。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上を運動する点 $P$ の時刻 $t$ における座標が $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$ で与えられているとき、

$\frac{dx}{dt}$, $\frac{dy}{dt}$ を求め、 $t=0$ から $t=\pi$ までの点 $P$ が動く道のり $l$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$x=t-\sin t$ を $t$ で微分すると、$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$。

$y=1-\cos t$ を $t$ で微分すると、$\frac{dy}{dt} = \sin t$。

次に、$t=0$ から $t=\pi$ までの点 $P$ が動く道のり $l$ は、

$l = \int_0^{\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{(1-\cos t)^2+(\sin t)^2} dt$

$= \int_0^{\pi} \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{2 - 2\cos t} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{2(1 - \cos t)} dt$

ここで、$1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$ であるから、

$l = \int_0^{\pi} \sqrt{4\sin^2(\frac{t}{2})} dt = \int_0^{\pi} 2|\sin(\frac{t}{2})| dt$

$0 \le t \le \pi$ の範囲で $\sin(\frac{t}{2}) \ge 0$ であるから、

$l = \int_0^{\pi} 2\sin(\frac{t}{2}) dt = 2 \int_0^{\pi} \sin(\frac{t}{2}) dt$

$= 2 [-2\cos(\frac{t}{2})]_0^{\pi} = 2 [-2\cos(\frac{\pi}{2}) - (-2\cos(0))] = 2[-2(0) + 2(1)] = 2[0 + 2] = 4$

3. 最終的な答え

$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$

$\frac{dy}{dt} = \sin t$

$\int_0^{\pi} \sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} dt = 2\int_0^{\pi} \sin(\frac{t}{2}) dt = 2 [-2 \cos(\frac{t}{2})]_0^{\pi}$

$l = 4$